We prove that, under some additional assumption, Putinar's Positivstellensatz holds on cylinders of type $S \times {\mathbb R}$ with $S = \{x \in {\mathbb R}^n | g_1(x) \ge 0, ..., g_s(x) \ge 0\}$ such that the quadratic module generated by $g_1, ..., g_s$ in ${\mathbb R}[X_1, ..., X_n]$ is archimedean, and we provide a degree bound for the representation of a polynomial $f \in {\mathbb R}[X_1, ..., X_n, Y]$ which is positive on $S \times {\mathbb R}$ as an explicit element of the quadratic module generated by $g_1, ..., g_s$ in ${\mathbb R}[X_1, ..., X_n, Y]$. We also include an example to show that an additional assumption is necessary for Putinar's Positivstellensatz to hold on cylinders of this type.

中文翻译：

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用于圆柱体的 Putinar Positivstellensatz 的一个版本

我们证明，在一些额外的假设下，Putinar 的 Positivstellensatz 成立于 $S \times {\mathbb R}$ 类型的圆柱体，其中 $S = \{x \in {\mathbb R}^n | g_1(x) \ge 0, ..., g_s(x) \ge 0\}$ 使得 $g_1, ..., g_s$ 在 ${\mathbb R}[X_1, .. ., X_n]$ 是阿基米德的，我们为多项式 $f \in {\mathbb R}[X_1, ..., X_n, Y]$ 的表示提供了一个度界，它在 $S \times { \mathbb R}$ 作为由 ${\mathbb R}[X_1, ..., X_n, Y]$ 中的 $g_1, ..., g_s$ 生成的二次模的显式元素。我们还包括一个例子来表明，为了让 Putinar 的 Positivstellensatz 保持这种类型的圆柱体，需要一个额外的假设。