Let $(X,g)$ be a compact Riemannian manifold with quasi-positive Riemannian scalar curvature. If there exists a complex structure $J$ compatible with $g$, then the canonical bundle $K_X$ is not pseudo-effective and the Kodaira dimension $\kappa(X,J)=-\infty$. We also introduce the complex Yamabe number $\lambda_c(X)$ for compact complex manifold $X$, and show that if $\lambda_c(X)>0$, then $\kappa(X)=-\infty$; moreover, if $X$ is also spin, then the Hirzebruch $A$-hat genus $\hat A(X)=0$.

中文翻译：

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标量曲率、小平维和 $${{\widehat{A}}}$$ A ^ -genus

令 $(X,g)$ 是一个具有准正黎曼标量曲率的紧黎曼流形。如果存在与 $g$ 兼容的复杂结构 $J$，则规范丛 $K_X$ 不是伪有效的，小平维数 $\kappa(X,J)=-\infty$。我们还为紧复流形$X$引入了复Yamabe数$\lambda_c(X)$，并证明如果$\lambda_c(X)>0$，则$\kappa(X)=-\infty$；此外，如果 $X$ 也是自旋的，则 Hirzebruch $A$-hat 属 $\hat A(X)=0$。