By definition, the exterior asymptotic energy of a solution to a wave equation on $\mathbb{R}^{1+N}$ is the sum of the limits as $t\to \pm\infty$ of the energy in the the exterior $\{|x|>|t|\}$ of the wave cone. In our previous work (JEMS 2012, arXiv:1003.0625), we have proved that the exterior asymptotic energy of a solution of the linear wave equation in odd space dimension $N$ is bounded from below by the conserved energy of the solution. In this article, we study the analogous problem for the linear wave equation with a potential \begin{equation} \label{abstractLW} \tag{*} \partial_t^2u+L_Wu=0,\quad L_W:=-\Delta -\frac{N+2}{N-2}W^{\frac{4}{N-2}} \end{equation} obtained by linearizing the energy critical wave equation at the ground-state solution $W$, still in odd space dimension. This equation admits nonzero solutions of the form $A+tB$, where $L_WA=L_WB=0$ with vanishing asymptotic exterior energy. We prove that the exterior energy of a solution of \eqref{abstractLW} is bounded from below by the energy of the projection of the initial data on the orthogonal complement of the space of initial data corresponding to these solutions. This will be used in a subsequent paper to prove soliton resolution for the energy-critical wave equation with radial data in all odd space dimensions. We also prove analogous results for the linearization of the energy-critical wave equation around a Lorentz transform of $W$, and give applications to the dynamics of the nonlinear equation close to the ground state in space dimensions $3$ and $5$.

中文翻译：

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接近基态的临界波动方程的外能界

根据定义，$\mathbb{R}^{1+N}$ 上波动方程的解的外渐近能量是能量的极限之和 $t\to \pm\infty$波锥的外部 $\{|x|>|t|\}$。在我们之前的工作 (JEMS 2012, arXiv:1003.0625) 中，我们已经证明了奇数空间维度 $N$ 线性波动方程解的外渐近能量受解的守恒能量的约束。在本文中，我们研究了具有势的线性波动方程的类似问题 \begin{equation} \label{abstractLW} \tag{*} \partial_t^2u+L_Wu=0,\quad L_W:=-\Delta - \frac{N+2}{N-2}W^{\frac{4}{N-2}} \end{equation} 通过在基态解 $W$ 处线性化能量临界波动方程获得，仍然在奇数空间维度。这个方程允许形式为 $A+tB$ 的非零解，其中 $L_WA=L_WB=0$ 渐近外能消失。我们证明了 \eqref{abstractLW} 的解的外部能量由初始数据在对应于这些解的初始数据空间的正交补上的投影能量从下方有界。这将在随后的论文中用于证明具有所有奇数空间维度的径向数据的能量临界波动方程的孤子分辨率。我们还证明了围绕 $W$ 的洛伦兹变换对能量临界波动方程进行线性化的类似结果，并在空间维度 $3$ 和 $5$ 中应用到接近基态的非线性方程的动力学。我们证明了 \eqref{abstractLW} 的解的外部能量由初始数据在对应于这些解的初始数据空间的正交补上的投影能量从下方有界。这将在随后的论文中用于证明具有所有奇数空间维度的径向数据的能量临界波动方程的孤子分辨率。我们还证明了围绕 $W$ 的洛伦兹变换对能量临界波动方程进行线性化的类似结果，并在空间维度 $3$ 和 $5$ 中应用到接近基态的非线性方程的动力学。我们证明了 \eqref{abstractLW} 的解的外部能量由初始数据在对应于这些解的初始数据空间的正交补上的投影能量自下而上有界。这将在随后的论文中用于证明具有所有奇数空间维度的径向数据的能量临界波动方程的孤子分辨率。我们还证明了围绕 $W$ 的洛伦兹变换对能量临界波动方程进行线性化的类似结果，并在空间维度 $3$ 和 $5$ 中应用到接近基态的非线性方程的动力学。这将在随后的论文中用于证明具有所有奇数空间维度的径向数据的能量临界波动方程的孤子分辨率。我们还证明了围绕 $W$ 的洛伦兹变换对能量临界波动方程进行线性化的类似结果，并在空间维度 $3$ 和 $5$ 中应用到接近基态的非线性方程的动力学。这将在随后的论文中用于证明具有所有奇数空间维度的径向数据的能量临界波动方程的孤子分辨率。我们还证明了围绕 $W$ 的洛伦兹变换对能量临界波动方程进行线性化的类似结果，并在空间维度 $3$ 和 $5$ 中应用到接近基态的非线性方程的动力学。