Let $\bar{A}=(A_0,A_1)$, $\bar{B}=(B_0,B_1)$ be Banach couples, let $E$ be a Banach space and let $T$ be a bilinear operator such that ${\Vert T(a,b)\Vert }_E\le M_j{\Vert a\Vert }_{A_j}{\Vert b\Vert }_{B_j}$ for $a\in A_0\cap A_1$, $b\in B_0\cap B_1$, $j=0,1.$ If $T:A_j^{\circ }\times B_j^{\circ }⟶E$ compactly for $j=0$ or 1, we show that $T$ may be uniquely extended to a compact bilinear operator from the complex interpolation spaces generated by $\bar{A}$ and $\bar{B}$ to $E$. Furthermore, the corresponding result for the real method is given and we also study the case when $E$ is replaced by a couple $(E_0,E_1)$ of Banach function spaces on the same measure space.

中文翻译：

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关于双线性算子的Lions–Peetre型紧致性结果

让 $\overline{\mathrm{一种}}=（{\mathrm{一种}}_0，{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}）$， $\overline{乙}=（{乙}_0，{乙}_{\mathrm{1个}}）$ 成为巴纳赫夫妇，让 $Ë$ 成为一个Banach空间，让 $Ť$ 是双线性算子 ${\Vert Ť（\mathrm{一种}，b）\Vert }_{Ë}\le {\mathrm{中号}}_{Ĵ}{\Vert \mathrm{一种}\Vert }_{{\mathrm{一种}}_{Ĵ}}{\Vert b\Vert }_{{乙}_{Ĵ}}$ 对于 $\mathrm{一种}\in {\mathrm{一种}}_0\cap {\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}$， $b\in {乙}_0\cap {乙}_{\mathrm{1个}}$， $Ĵ=0，\mathrm{1个}。$ 如果 $Ť：{\mathrm{一种}}_{Ĵ}^{\circ }\times {乙}_{Ĵ}^{\circ }⟶Ë$ 紧凑地 $Ĵ=0$ 或1，我们证明 $Ť$ 可以从由生成的复杂插值空间唯一地扩展为紧致双线性算子 $\overline{\mathrm{一种}}$ 和 $\overline{乙}$ 至 $Ë$。此外，给出了实际方法的相应结果，我们还研究了当$Ë$ 被一对夫妇取代 $（{Ë}_0，{Ë}_{\mathrm{1个}}）$ 同一度量空间上的Banach函数空间的组合。