Studying the elementary properties of free projective planes of finite rank, we prove that for m > n , an arbitrary ∀∃∀-formula Φ( ȳ ) and a tuple ū of elements of the free projective plane $$\mathfrak{F}_{n}$$ F n if Φ( ū ) holds on the plane $$\mathfrak{F}_{m}$$ F m then Φ( ū ) holds on the plane $$\mathfrak{F}_{n}$$ F n too. This implies the coincidence of the ∀∃-theories of free projective planes of different finite ranks.

中文翻译：

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关于∀∃-自由射影平面理论

研究有限阶自由射影平面的基本性质，我们证明对于 m > n ，任意 ∀∃∀-公式 Φ( ȳ ) 和自由射影平面元素的元组 ū $$\mathfrak{F}_ {n}$$ F n 如果 Φ( ū ) 在平面上成立 $$\mathfrak{F}_{m}$$ F m 那么 Φ( ū ) 在平面上成立 $$\mathfrak{F}_{n }$$ F n 也是。这意味着 ∀∃-不同有限阶的自由射影平面理论的巧合。