Studying the solvable subgroups of 2 × 2 matrix groups over Z, we find a maximal finite order primitive solvable subgroup of GL(2, Z) unique up to conjugacy in GL(2, Z). We describe the maximal primitive solvable subgroups whose maximal abelian normal divisor coincides with the group of units of a quadratic ring extension of Z. We prove that every real quadratic ring R determines h classes of conjugacy in GL(2, Z) of maximal primitive solvable subgroups of GL(2, Z), where h is the number of ideal classes in R.

中文翻译：

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大小为 2 的整数矩阵的最大可解子群

研究 Z 上 2 × 2 矩阵群的可解子群，我们找到了 GL(2, Z) 的最大有限阶原始可解子群，直到 GL(2, Z) 中的共轭为止。我们描述了最大本原可解子群，其最大阿贝尔正则因数与 Z 的二次环扩展的单位群重合。我们证明每个实二次环 R 确定最大本原可解的 GL(2, Z) 中的 h 类共轭GL(2, Z) 的子群，其中 h 是 R 中理想类的数量。