Let φ be a positive functional on a von Neumann algebra $$\mathscr{A}$$ and let $$\mathscr{A}^{\rm{pr}}$$ be the projection lattice in $$\mathscr{A}$$. Given $$P,Q \in \mathscr{A}^{\rm{pr}}$$, put ρφ(P, Q) = φ(∣P − Q∣) and dφ(P, Q) = φ(P ∨ Q − P ∧ Q). Then ρφ(P, Q) ≤ dφ(P, Q) and ρφ(P, Q) = dφ(P, Q) provided that PQ = QP. The mapping ρφ (or dφ) meets the triangle inequality if and only if φ is a tracial functional. If τ is a faithful tracial functional then ρτ and dτ are metrics on $$\mathscr{A}^{\rm{pr}}$$. Moreover, if τ is normal then ($$\mathscr{A}^{\rm{pr}}$$, ρτ) and ($$\mathscr{A}^{\rm{pr}}$$, dτ) are complete metric spaces. Convergences with respect to ρτ and dτ are equivalent if and only if $$\mathscr{A}$$ is abelian; in this case ρτ = dτ. We give one more criterion for commutativity of $$\mathscr{A}$$ in terms of inequalities.

中文翻译：

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与迹泛函相关的冯诺依曼代数投影的度量

令 φ 是冯诺依曼代数 $$\mathscr{A}$$ 上的正泛函，并令 $$\mathscr{A}^{\rm{pr}}$$ 是 $$\mathscr{A 中的投影格}$$。给定 $$P,Q \in \mathscr{A}^{\rm{pr}}$$，将 ρφ(P, Q) = φ(∣P − Q∣) 和 dφ(P, Q) = φ( P ∨ Q − P ∧ Q)。然后 ρφ(P, Q) ≤ dφ(P, Q) 和 ρφ(P, Q) = dφ(P, Q) 假设 PQ = QP。映射 ρφ（或 dφ）满足三角不等式当且仅当 φ 是迹泛函。如果 τ 是忠实追踪泛函，则 ρτ 和 dτ 是 $$\mathscr{A}^{\rm{pr}}$$ 上的度量。此外，如果 τ 是正常的，那么 ($$\mathscr{A}^{\rm{pr}}$$, ρτ) 和 ($$\mathscr{A}^{\rm{pr}}$$, dτ)是完备的度量空间。关于 ρτ 和 dτ 的收敛是等价的当且仅当 $$\mathscr{A}$$ 是阿贝尔的；在这种情况下，ρτ = dτ。我们根据不等式给出了 $$\mathscr{A}$$ 的可交换性的另一个标准。