This note is concerned with an extension, at second order, of an inequality on the discrete cube $$C_n=\{-\,1,1\}^n$$ C n = { - 1 , 1 } n (equipped with the uniform measure) due to Talagrand (Ann Probab 22:1576–1587, 1994). As an application, the main result of this note is a theorem in the spirit of a famous result from Kahn et al. (cf. Proceedings of 29th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, vol 62. Computer Society Press, Washington, pp 68–80, 1988) concerning the influence of Boolean functions. The notion of the influence of a couple of coordinates $$(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}^2$$ ( i , j ) ∈ { 1 , … , n } 2 is introduced in Sect. 2 , and the following alternative is obtained: For any Boolean function $$f\,:\, C_n\rightarrow \{0,1\}$$ f : C n → { 0 , 1 } , either there exists a coordinate with influence at least of order $$(1/n)^{1/(1+\eta )}$$ ( 1 / n ) 1 / ( 1 + η ) , with $$\, 0<\eta <1$$ 0 < η < 1 (independent of f and n ), or there exists a couple of coordinates $$(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}^2$$ ( i , j ) ∈ { 1 , … , n } 2 with $$i\ne j$$ i ≠ j , with influence at least of order $$(\log n/n)^2$$ ( log n / n ) 2 . In Sect. 4 , it is shown that this extension of Talagrand inequality can also be obtained, with minor modifications, for the standard Gaussian measure $$\gamma _n$$ γ n on $${\mathbb {R}}^n$$ R n ; the obtained inequality can be of independent interest. The arguments rely on interpolation methods by semigroup together with hypercontractive estimates. At the end of the article, some related open questions are presented.

中文翻译：

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二阶塔拉格兰不等式及其在布尔分析中的应用

本笔记涉及离散立方体上不等式的二阶扩展 $$C_n=\{-\,1,1\}^n$$ C n = { - 1 , 1 } n （配备统一措施）归因于 Talagrand（Ann Probab 22：1576-1587，1994）。作为一个应用，本笔记的主要结果是一个符合 Kahn 等人的著名结果的定理。(cf. Proceedings of 29th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, vol 62. Computer Society Press, Washington, pp 68–80, 1988) 关于布尔函数的影响。一对坐标 $$(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}^2$$ ( i , j ) ∈ { 1 , … , n } 2 的影响概念被引入教派。2 ，并获得以下替代方案： 对于任何布尔函数 $$f\,:\, C_n\rightarrow \{0,1\}$$ f : C n → { 0 , 1 } , 要么存在一个影响至少为 $$(1/n)^{1/(1+\eta )}$$ ( 1 / n ) 1 / ( 1 + η ) 的坐标，其中 $$\, 0 <\eta <1$$ 0 < η < 1 (独立于 f 和 n )，或者存在一对坐标 $$(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}^2$$ ( i , j ) ∈ { 1 , … , n } 2 with $$i\ne j$$ i ≠ j ，影响至少为$$(\log n/n)^2$$ ( log n / ) 2 . 昆虫。如图 4 所示，对于标准高斯测度 $$\gamma _n$$ γ n on $${\mathbb {R}}^n$$ R n 也可以得到 Talagrand 不等式的扩展，只需稍作修改; 获得的不等式可以是独立的。这些论点依赖于半群的插值方法和超收缩估计。在文章的最后，提出了一些相关的开放性问题。\eta <1$$ 0 < η < 1 (独立于 f 和 n )，或者存在一对坐标 $$(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}^2$$ ( i , j ) ∈ { 1 , … , n } 2 with $$i\ne j$$ i ≠ j ，影响至少为$$(\log n/n)^2$$ ( log n / n ) 2 . 昆虫。如图 4 所示，对于标准高斯测度 $$\gamma _n$$ γ n on $${\mathbb {R}}^n$$ R n 也可以得到 Talagrand 不等式的扩展，只需稍作修改; 获得的不等式可以是独立的。这些论点依赖于半群的插值方法和超收缩估计。在文章的最后，提出了一些相关的开放性问题。\eta <1$$ 0 < η < 1 (独立于 f 和 n )，或者存在一对坐标 $$(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}^2$$ ( i , j ) ∈ { 1 , … , n } 2 with $$i\ne j$$ i ≠ j ，影响至少为$$(\log n/n)^2$$ ( log n / n ) 2 . 昆虫。如图 4 所示，对于标准高斯测度 $$\gamma _n$$ γ n on $${\mathbb {R}}^n$$ R n 也可以得到 Talagrand 不等式的扩展，只需稍作修改; 获得的不等式可以是独立的。这些论点依赖于半群的插值方法和超收缩估计。在文章的最后，提出了一些相关的开放性问题。影响至少为 $$(\log n/n)^2$$ ( log n / n ) 2 。昆虫。如图 4 所示，对于标准高斯测度 $$\gamma _n$$ γ n on $${\mathbb {R}}^n$$ R n 也可以得到 Talagrand 不等式的扩展，只需稍作修改; 获得的不等式可以是独立的。这些论点依赖于半群的插值方法和超收缩估计。在文章的最后，提出了一些相关的开放性问题。影响至少为 $$(\log n/n)^2$$ ( log n / n ) 2 。昆虫。如图 4 所示，对于标准高斯测度 $$\gamma _n$$ γ n on $${\mathbb {R}}^n$$ R n 也可以得到 Talagrand 不等式的扩展，只需稍作修改; 获得的不等式可以是独立的。这些论点依赖于半群的插值方法和超收缩估计。在文章的最后，提出了一些相关的开放性问题。这些论点依赖于半群的插值方法和超收缩估计。在文章的最后，提出了一些相关的开放性问题。这些论点依赖于半群的插值方法和超收缩估计。在文章的最后，提出了一些相关的开放性问题。