We define the weighted relative p (.)-capacity and discuss its properties in the space $$W_\vartheta ^{1,p(.)}({\mathbb{R}^n})$$ W ϑ 1 , p ( . ) ( R n ) . Also, we investigate some properties of the weighted variable Sobolev capacity. It is shown that there is a relation between these two capacities. Moreover, we introduce the notion of thinness related to this newly defined relative capacity and prove an equivalence statement for this thinness.

中文翻译：

---

关于加权变指数Sobolev空间中相对容量和薄度的一些性质

我们定义加权相对 p (.)-容量并讨论其在空间 $$W_\vartheta ^{1,p(.)}({\mathbb{R}^n})$$ W ϑ 1 , p ( . ) ( R n ) 。此外，我们研究了加权变量 Sobolev 容量的一些属性。表明这两种能力之间存在关系。此外，我们引入了与这种新定义的相对容量相关的稀薄概念，并证明了这种稀薄的等价陈述。