Abstract In a recent paper of Cuenya and Ferreyra, a condition, namely, the Cp-condition in Lp-spaces was introduced that is weaker than the notion of Lp-derivative given by Calderón-Zygmund. In the present article, we define the Legendre derivative for functions in L2 generalizing both notions, the Cp-condition and Lp-derivative in the case p = 2. As a consequence, we give a necessary and sufficient condition for the existence of the best local approximation in L2 by using this new concept of derivative. In addition, we study the convexity of the set of cluster points of the set of best L2 approximations to a function on a interval when their measures tends to zero.

中文翻译：

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L2空间中导数的一种新方法

摘要 在 Cuenya 和 Ferreyra 最近的一篇论文中，引入了一个条件，即 Lp 空间中的 Cp 条件，它比 Calderón-Zygmund 给出的 Lp 导数的概念弱。在本文中，我们定义了 L2 中函数的勒让德导数，在 p = 2 的情况下概括了两个概念，即 Cp 条件和 Lp 导数。因此，我们给出了存在最佳的充分必要条件通过使用这种新的导数概念在 L2 中进行局部逼近。此外，我们研究了当它们的度量趋于零时，函数的最佳 L2 近似集合的集簇点集的凸性。