ABSTRACT We prove that the function is strictly concave on if and only if . This solves a problem posed by Yang and Tian and complements their result that is strictly concave on if and only if . Moreover, we apply our concavity theorem to present several functional inequalities involving . Among others, we prove that if , then for all where . Both bounds are sharp and the sign of equality holds if and only if .

中文翻译：

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第一类完全椭圆积分的凹性

摘要 我们证明该函数在当且仅当 上是严格凹的。这解决了 Yang 和 Tian 提出的问题，并补充了他们的结果，即当且仅当 。此外，我们应用我们的凹面定理来提出几个涉及 的函数不等式。其中，我们证明如果 ，那么对于所有 where 。两个界限都是尖锐的，且等号成立当且仅当 。