In this paper, we introduce a class of holomorphic functions ${\mathcal{M}}_g\left(\mathbb{U}\right)$ on unit disk $\mathbb{U}$. Let $w\left(\xi \right)$ be a normalized holomorphic function on $\mathbb{U}$ such that $w\left(\xi \right)/w^{\prime }\left(\xi \right)\in {\mathcal{M}}_g\left(\mathbb{U}\right)$, and $w\left(\xi \right)-\xi$ has a zero of order k + 1 at $\xi =0$. By using the formula of Faà di Bruno for the kth derivative of a composite function, we establish the Fekete and Szegö inequality for $w\left(\xi \right)$, and then we extend this result to higher dimensions. The results presented here generalize some known results. Finally, a certain problem is also considered.

中文翻译：

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一维和更高维上的Fekete和Szegö不等式的一些改进

在本文中，我们介绍了一类全纯函数 ${\mathcal{中号}}_G（\mathbb{ü}）$ 在单元盘上 $\mathbb{ü}$。让$w（\xi ）$ 是上的归一化全纯函数 $\mathbb{ü}$ 这样 $w（\xi ）/w^{\prime }（\xi ）\in {\mathcal{中号}}_G（\mathbb{ü}）$， 和 $w（\xi ）-\xi$的零阶为k  +1$\xi =0$。通过使用Faàdi Bruno公式作为复合函数的k阶导数，我们建立了Fekete和Szegö不等式$w（\xi ）$，然后将结果扩展到更高的维度。这里介绍的结果概括了一些已知的结果。最后，还考虑了某个问题。