Abstract We give examples showing that the usual Artin approximation theorems valid for convergent series over a field are no longer true for convergent series over a commutative Banach algebra. In particular, we construct an example of a commutative integral Banach algebra R such that the ring of formal power series over R is not flat over the ring of convergent power series over R.

中文翻译：

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Banach空间上的Artin近似

摘要 我们给出的例子表明，对于一个域上的收敛级数有效的通常 Artin 近似定理不再适用于交换 Banach 代数上的收敛级数。特别地，我们构造了一个交换积分 Banach 代数 R 的例子，使得 R 上的形式幂级数环在 R 上的收敛幂级数环上不是平坦的。