It is a long standing open problem whether the Thompson group $F$ is an amenable group. In this paper we show that if $A$, $B$, $C$ denote the standard generators of Thompson group $T$ and $D:=C B A^{-1}$ then $$\sqrt2+\sqrt3\,<\,\frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||\,\le\, 2+\sqrt2.$$ Moreover, the upper bound is attained if the Thompson group $F$ is amenable. Here, the norm of an element in the group ring $\mathbb{C} T$ is computed in $B(\ell^2(T))$ via the regular representation of $T$. Using the "cyclic reduced" numbers $\tau(((C+C^2)(D+D^2+D^3))^n)$, $n\in\mathbb{N}$, and some methods from our previous paper [arXiv:1409.1486] we can obtain precise lower bounds as well as good estimates of the spectral distributions of $\frac1{12}((I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3))^*(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3),$ where $\tau$ is the tracial state on the group von Neumann algebra $L(T)$. Our extensive numerical computations suggest that $$\frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||\approx 3.28,$$ and thus that $F$ might be non-amenable. However, we can in no way rule out that $\frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||=\, 2+\sqrt2$.

中文翻译：

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对 F 的顺应性问题的 Thompson 群 T 的计算探索

Thompson 群 $F$ 是否适合群落是一个长期存在的悬而未决的问题。在本文中，我们证明如果 $A$, $B$, $C$ 表示 Thompson 群 $T$ 和 $D:=CBA^{-1}$ 的标准生成元，则 $$\sqrt2+\sqrt3\,< \,\frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||\,\le\, 2+\sqrt2.$$此外，如果 Thompson 群 $F$ 是可行的，则达到上限。这里，群环 $\mathbb{C} T$ 中元素的范数是通过 $T$ 的正则表示在 $B(\ell^2(T))$ 中计算的。使用“循环缩减”数 $\tau(((C+C^2)(D+D^2+D^3))^n)$、$n\in\mathbb{N}$ 和一些方法从我们之前的论文 [arXiv:1409.1486] 我们可以获得精确的下界以及对 $\frac1{12}((I+C+C^2)(I+D+D^2+ D^3))^*(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3), $ 其中 $\tau$ 是群冯诺依曼代数 $L(T)$ 上的迹态。我们广泛的数值计算表明 $$\frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||\approx 3.28,$$ 和因此，$F$ 可能不适合。但是，我们不能排除 $\frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||=\, 2 +\sqrt2$。