Archdeacon and Grable (1995) proved that the genus of the random graph $G\in\mathcal{G}_{n,p}$ is almost surely close to $pn^2/12$ if $p=p(n)\geq3(\ln n)^2n^{-1/2}$. In this paper we prove an analogous result for random bipartite graphs in $\mathcal{G}_{n_1,n_2,p}$. If $n_1\ge n_2 \gg 1$, phase transitions occur for every positive integer $i$ when $p=\Theta((n_1n_2)^{-\frac{i}{2i+1}})$. A different behaviour is exhibited when one of the bipartite parts has constant size, $n_1\gg1$ and $n_2$ is a constant. In that case, phase transitions occur when $p=\Theta(n_1^{-1/2})$ and when $p=\Theta(n_1^{-1/3})$.

中文翻译：

---

随机二分图的属

Archdeacon 和 Grable (1995) 证明了随机图 $G\in\mathcal{G}_{n,p}$ 的属几乎肯定接近 $pn^2/12$ 如果 $p=p(n) \geq3(\ln n)^2n^{-1/2}$。在本文中，我们证明了 $\mathcal{G}_{n_1,n_2,p}$ 中随机二部图的类似结果。如果 $n_1\ge n_2 \gg 1$，当 $p=\Theta((n_1n_2)^{-\frac{i}{2i+1}})$ 时，每个正整数 $i$ 都会发生相变。当二分部分之一具有恒定大小时，表现出不同的行为，$n_1\gg1$ 和 $n_2$ 是一个常数。在这种情况下，当 $p=\Theta(n_1^{-1/2})$ 和 $p=\Theta(n_1^{-1/3})$ 时会发生相变。