Let $H$ be a Hopf algebra. We consider $H$-equivariant modules over a Hopf module category $\mathcal C$ as modules over the smash extension $\mathcal C\# H$. We construct Grothendieck spectral sequences for the cohomologies as well as the $H$-locally finite cohomologies of these objects. We also introduce relative $(\mathcal D,H)$-Hopf modules over a Hopf comodule category $\mathcal D$. These generalize relative $(A,H)$-Hopf modules over an $H$-comodule algebra $A$. We construct Grothendieck spectral sequences for their cohomologies by using their rational $Hom$ objects and higher derived functors of coinvariants.

中文翻译：

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模块上-类别和共-类别的上同调

让 $H$ 是一个 Hopf 代数。我们将 Hopf 模块类别 $\mathcal C$ 上的 $H$ 等变模块视为 smash 扩展 $\mathcal C\# H$ 上的模块。我们为这些对象的上同调以及 $H$-局部有限上同调构造 Grothendieck 谱序列。我们还在 Hopf 协模块类别 $\mathcal D$ 上引入了相对的 $(\mathcal D,H)$-Hopf 模块。这些在 $H$-comodule 代数 $A$ 上概括了相对的 $(A,H)$-Hopf 模块。我们通过使用他们的有理 $Hom$ 对象和更高的共变量派生函子来构建格罗腾迪克谱序列的上同调。