In this article we use the variational method developed by Szulkin \cite{szulkin} to prove the existence of a positive solution for the following logarithmic Schr\"{o}dinger equation $$ \left\{ \begin{array}{lc} -{\epsilon}^2\Delta u+ V(x)u=u \log u^2, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N}, \\ %u(x)>0, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N} \\ u \in H^1(\mathbb{R}^{N}), & \; \\ \end{array} \right. $$ where $\epsilon >0, N \geq 1$ and $V$ is a saddle-like potential.

中文翻译：

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具有鞍状电位的对数薛定谔方程正解的存在性

在本文中，我们使用 Szulkin \cite{szulkin} 开发的变分方法来证明以下对数 Schr\"{o}dinger 方程 $$ \left\{ \begin{array}{lc} 的正解的存在-{\epsilon}^2\Delta u+ V(x)u=u \log u^2, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N}, \\ %u(x)>0 , & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N} \\ u \in H^1(\mathbb{R}^{N}), & \; \\ \end{array} \right . $$ 其中 $\epsilon >0, N \geq 1$ 和 $V$ 是鞍状势。