We determine the distribution over square-free integers n of the pair $$({\dim _{{\mathbb{F}_2}}}{\rm{Se}}{{\rm{l}}^\Phi}(E_n/\mathbb{Q})$$ ( dim F 2 Sel Φ ( E n / ℚ ) , $${\dim _{{\mathbb{F}_2}}}{\rm{Se}}{{\rm{l}}^{\widehat\Phi}}(E_n^\prime /\mathbb{Q}))$$ dim F 2 Sel Φ _ ( E n ′ / ℚ ) ) , where E n is a curve in the congruent number curve family, E ′ n : y 2 = x 3 + 4 n 2 x is the image of isogeny Φ: E n → E ′ n , Φ( x, y ) = ( y 2 / x 2 , y ( n 2 − x 2 )/ x 2 ), and $$\widehat\Phi $$ Φ _ is the isogeny dual to Φ.

中文翻译：

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全等数曲线的 Selmer 等级的联合分布

我们确定对 $$({\dim _{{\mathbb{F}_2}}}{\rm{Se}}{{\rm{l}}^\Phi} (E_n/\mathbb{Q})$$ ( dim F 2 Sel Φ ( E n / ℚ ) , $${\dim _{{\mathbb{F}_2}}}{\rm{Se}}{{ \rm{l}}^{\widehat\Phi}}(E_n^\prime /\mathbb{Q}))$$ dim F 2 Sel Φ _ ( E n ′ / ℚ ) ) ，其中 E n 是曲线在全等数曲线族中，E ′ n : y 2 = x 3 + 4 n 2 x 为等基因 Φ: E n → E ′ n , Φ( x, y ) = ( y 2 / x 2 , y ( n 2 − x 2 )/ x 2 )，$$\widehat\Phi $$ Φ _ 是Φ 的同基因对偶。