As composites of constant, finite (co)product, identity, and powerset functors, Kripke polynomial functors form a relevant class of $$\textsf {Set}$$ Set -functors in the theory of coalgebras. The main goal of this paper is to expand the theory of limits in categories of coalgebras of Kripke polynomial functors to the context of quantale-enriched categories. To assume the role of the powerset functor we consider “powerset-like” functors based on the Hausdorff $${\mathcal {V}}$$ V -category structure. As a starting point, we show that for a lifting of a $$\textsf {Set}$$ Set -functor to a topological category $$\textsf {X}$$ X over $$\textsf {Set}$$ Set that commutes with the forgetful functor, the corresponding category of coalgebras over $$\textsf {X}$$ X is topological over the category of coalgebras over $$\textsf {Set}$$ Set and, therefore, it is “as complete” but cannot be “more complete”. Secondly, based on a Cantor-like argument, we observe that Hausdorff functors on categories of quantale-enriched categories do not admit a terminal coalgebra. Finally, in order to overcome these “negative” results, we combine quantale-enriched categories and topology à la Nachbin. Besides studying some basic properties of these categories, we investigate “powerset-like” functors which simultaneously encode the classical Hausdorff metric and Vietoris topology and show that the corresponding categories of coalgebras of “Kripke polynomial” functors are (co)complete.

中文翻译：

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豪斯多夫代数

作为常数、有限（共）积、恒等式和幂集函子的复合体，克里普克多项式函子在代数理论中形成了一个相关的类 $$\textsf {Set}$$ Set -functors。本文的主要目标是将 Kripke 多项式函子的余代数范畴中的极限理论扩展到 quantale-enriched 范畴的上下文中。为了承担幂集函子的角色，我们考虑基于 Hausdorff $${\mathcal {V}}$$ V -category 结构的“类幂集”函子。作为起点，我们证明了将 $$\textsf {Set}$$ Set -函子提升到 $$\textsf {Set}$$ Set 上的拓扑范畴 $$\textsf {X}$$ X与健忘函子交换，$$\textsf {X}$$ X 上的余代数的对应范畴在 $$\textsf {Set}$$ Set 上的余代数范畴上是拓扑的，因此，它“同样完整”，但不能“更完整”。其次，基于康托尔式的论证，我们观察到在富量子数范畴上的豪斯多夫函子不承认终端代数。最后，为了克服这些“负面”结果，我们结合了 quantale-enriched 类别和拓扑 à la Nachbin。除了研究这些类别的一些基本性质外，我们还研究了同时编码经典豪斯多夫度量和 Vietoris 拓扑的“类幂集”函子，并表明“克里普克多项式”函子的相应余代数类别是（共）完备的。为了克服这些“负面”结果，我们结合了 quantale-enriched 类别和拓扑 à la Nachbin。除了研究这些类别的一些基本性质外，我们还研究了同时编码经典豪斯多夫度量和 Vietoris 拓扑的“类幂集”函子，并表明“克里普克多项式”函子的相应余代数类别是（共）完备的。为了克服这些“负面”结果，我们结合了 quantale-enriched 类别和拓扑 à la Nachbin。除了研究这些类别的一些基本性质外，我们还研究了同时编码经典豪斯多夫度量和 Vietoris 拓扑的“类幂集”函子，并表明“克里普克多项式”函子的相应余代数类别是（共）完备的。