For any site of definition $$\mathcal {C}$$ C of a Grothendieck topos $$\mathcal {E}$$ E , we define a notion of a $$\mathcal {C}$$ C -ary Lawvere theory $$\tau : \mathscr {C} \rightarrow \mathscr {T}$$ τ : C → T whose category of models is a stack over $$\mathcal {E}$$ E . Our definitions coincide with Lawvere’s finitary theories when $$\mathcal {C}=\aleph _0$$ C = ℵ 0 and $$\mathcal {E} = {{\,\mathrm{\mathbf {Set}}\,}}$$ E = Set . We construct a fibered category $${{\,\mathrm{\mathbf {Mod}}\,}}^{\mathscr {T}}$$ Mod T of models as a stack over $$\mathcal {E}$$ E and prove that it is $$\mathcal {E}$$ E -complete and $$\mathcal {E}$$ E -cocomplete. We show that there is a free-forget adjunction $$F \dashv U: {{\,\mathrm{\mathbf {Mod}}\,}}^{\mathscr {T}} \leftrightarrows \mathscr {E}$$ F ⊣ U : Mod T ⇆ E . If $$\tau $$ τ is a commutative theory in a certain sense, then we obtain a “locally monoidal closed” structure on the category of models, which enhances the free-forget adjunction to an adjunction of symmetric monoidal $$\mathcal {E}$$ E -categories. Our results give a general recipe for constructing a monoidal $$\mathcal {E}$$ E -cosmos in which one can do enriched $$\mathcal {E}$$ E -category theory. As an application, we describe a convenient category of linear spaces generated by the theory of Lebesgue integration.

中文翻译：

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层土中的代数理论和交换性

对于格洛腾迪克拓扑的任何定义 $$\mathcal {C}$$ C $$\mathcal {E}$$ E ，我们定义了 $$\mathcal {C}$$ C -ary Lawvere 理论的概念$$\tau : \mathscr {C} \rightarrow \mathscr {T}$$ τ : C → T 其模型类别是在 $$\mathcal {E}$$ E 上的堆栈。当 $$\mathcal {C}=\aleph _0$$ C = ℵ 0 和 $$\mathcal {E} = {{\,\mathrm{\mathbf {Set}}\,} }$$ E = 设置。我们构建了一个纤维化类别 $${{\,\mathrm{\mathbf {Mod}}\,}}^{\mathscr {T}}$$ Mod T 作为模型的堆栈在 $$\mathcal {E}$ 上$ E 并证明它是 $$\mathcal {E}$$ E -complete 和 $$\mathcal {E}$$ E -cocomplete。我们证明有一个自由遗忘附加词 $$F \dashv U: {{\,\mathrm{\mathbf {Mod}}\,}}^{\mathscr {T}} \leftrightarrows \mathscr {E}$ $ F ⊣ U ：Mod T ⇆ E 。如果 $$\tau $$ τ 在某种意义上是一个交换理论，那么我们在模型的范畴上获得了一个“局部幺半群闭”结构，这将自由遗忘附加项增强为对称幺半群 $$\mathcal 的附加项{E}$$ E - 类别。我们的结果给出了构建幺半群 $$\mathcal {E}$$ E -cosmos 的一般方法，其中可以进行丰富的 $$\mathcal {E}$$ E -范畴理论。作为一个应用，我们描述了由 Lebesgue 积分理论生成的一个方便的线性空间类别。我们的结果给出了构建幺半群 $$\mathcal {E}$$ E -cosmos 的一般方法，其中可以进行丰富的 $$\mathcal {E}$$ E -范畴理论。作为一个应用，我们描述了由 Lebesgue 积分理论生成的一个方便的线性空间类别。我们的结果给出了构建幺半群 $$\mathcal {E}$$ E -cosmos 的一般方法，其中可以进行丰富的 $$\mathcal {E}$$ E -范畴理论。作为一个应用，我们描述了由 Lebesgue 积分理论生成的一个方便的线性空间类别。