We call a continuous map $f : X \to Y$ nowhere constant if it is not constant on any non-empty open subset of its domain $X$. Clearly, this is equivalent with the assumption that every fiber $f^{-1}(y)$ of $f$ is nowhere dense in $X$. We call the continuous map $f : X \to Y$ pseudo-open if for each nowhere dense $Z \subset Y$ its inverse image $f^{-1}(Z)$ is nowhere dense in $X$. Clearly, if $Y$ is crowded, i.e. has no isolated points, then $f$ is nowhere constant. The aim of this paper is to study the following, admittedly imprecise, question: How "small" nowhere constant, resp. pseudo-open continuous images can "large" spaces have? Our main results yield the following two precise answers to this question, explaining also our title. Both of them involve the cardinal function $\widehat{c}(X)$, the "hat version" of cellularity, which is defined as the smallest cardinal $\kappa$ such that there is no $\kappa$-sized disjoint family of open sets in $X$. Thus, for instance, $\widehat{c}(X) = \omega_1$ means that $X$ is CCC. THEOREM A. Any crowded Tychonov space $X$ has a crowded Tychonov nowhere constant continuous image $Y$ of weight $w(Y) \le \widehat{c}(X)$. Moreover, in this statement $\le$ may be replaced with $<$ iff there are no $\widehat{c}(X)$-Suslin lines (or trees). THEOREM B. Any crowded Tychonov space $X$ has a crowded Tychonov pseudo-open continuous image $Y$ of weight $w(Y) \le 2^{<\widehat{c}(X)}$. If Martin's axiom holds then there is a CCC crowded Tychonov space $X$ such that for any crowded Hausdorff pseudo-open continuous image $Y$ of $X$ we have $w(Y) \ge \mathfrak{c}\,( = 2^{< \omega_1})$.

中文翻译：

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小细胞性空间无处具有小重量的恒定连续图像

我们称一个连续映射 $f : X \to Y$ 无处不变，如果它在其域 $X$ 的任何非空开放子集上不是常数。显然，这与假设 $f$ 的每个纤维 $f^{-1}(y)$ 在 $X$ 中都不密集。我们称连续映射 $f : X \to Y$ 伪开，如果对于每个无处密集 $Z \subset Y$ 其逆图像 $f^{-1}(Z)$ 在 $X$ 中无处密集。显然，如果 $Y$ 是拥挤的，即没有孤立的点，那么 $f$ 就不是常数。本文的目的是研究以下公认不精确的问题：如何“小”无处不在，分别是什么？“大”空间可以有伪开放连续图像吗？我们的主要结果对这个问题给出了以下两个精确的答案，也解释了我们的标题。它们都涉及基数函数 $\widehat{c}(X)$，即“帽子版本” 元胞性，它被定义为最小的基数 $\kappa$，使得在 $X$ 中没有 $\kappa$ 大小的不相交开集族。因此，例如，$\widehat{c}(X) = \omega_1$ 意味着 $X$ 是 CCC。定理 A. 任何拥挤的 Tychonov 空间 $X$ 都有一个拥挤的 Tychonov 无处恒定连续图像 $Y$，重量为 $w(Y) \le \widehat{c}(X)$。此外，在此语句中，$\le$ 可以替换为 $<$，当条件是没有 $\widehat{c}(X)$-Suslin 线（或树）。定理 B. 任何拥挤的 Tychonov 空间 $X$ 都有一个拥挤的 Tychonov 伪开连续图像 $Y$，重量为 $w(Y) \le 2^{<\widehat{c}(X)}$。如果马丁公理成立，那么存在 CCC 拥挤的 Tychonov 空间 $X$，使得对于 $X$ 的任何拥挤的 Hausdorff 伪开连续图像 $Y$ 我们有 $w(Y) \ge \mathfrak{c}\,( = 2^{< \omega_1})$。它被定义为最小的基数 $\kappa$，使得在 $X$ 中没有 $\kappa$ 大小的不相交开集族。因此，例如，$\widehat{c}(X) = \omega_1$ 意味着 $X$ 是 CCC。定理 A. 任何拥挤的 Tychonov 空间 $X$ 都有一个拥挤的 Tychonov 无处恒定连续图像 $Y$，重量为 $w(Y) \le \widehat{c}(X)$。此外，在此语句中，$\le$ 可以替换为 $<$，当条件是没有 $\widehat{c}(X)$-Suslin 线（或树）。定理 B. 任何拥挤的 Tychonov 空间 $X$ 都有一个拥挤的 Tychonov 伪开连续图像 $Y$，重量为 $w(Y) \le 2^{<\widehat{c}(X)}$。如果马丁公理成立，那么存在 CCC 拥挤的 Tychonov 空间 $X$，使得对于 $X$ 的任何拥挤的 Hausdorff 伪开连续图像 $Y$ 我们有 $w(Y) \ge \mathfrak{c}\,( = 2^{< \omega_1})$。它被定义为最小的基数 $\kappa$，使得在 $X$ 中没有 $\kappa$ 大小的不相交开集族。因此，例如，$\widehat{c}(X) = \omega_1$ 意味着 $X$ 是 CCC。定理 A. 任何拥挤的 Tychonov 空间 $X$ 都有一个拥挤的 Tychonov 无处恒定连续图像 $Y$，重量为 $w(Y) \le \widehat{c}(X)$。此外，在此语句中，$\le$ 可以替换为 $<$，当条件是没有 $\widehat{c}(X)$-Suslin 线（或树）。定理 B. 任何拥挤的 Tychonov 空间 $X$ 都有一个拥挤的 Tychonov 伪开连续图像 $Y$，重量为 $w(Y) \le 2^{<\widehat{c}(X)}$。如果马丁公理成立，那么存在 CCC 拥挤的 Tychonov 空间 $X$，使得对于 $X$ 的任何拥挤的 Hausdorff 伪开连续图像 $Y$ 我们有 $w(Y) \ge \mathfrak{c}\,( = 2^{< \omega_1})$。