Abstract For a Tychonoff space X, the Dieudonne τ-completion of X, denoted by μ τ X , is investigated. The space μ τ X is defined as the completion of X with respect to the uniformity u X τ , where u X τ is generated by all continuous mappings of X to metric spaces of weight ≤τ. It is proved that a dense subspace Y of X is P τ -(equivalently, P τ ⁎ -)embedded in X iff u X τ | Y = u Y τ iff Y ⊂ X ⊂ μ τ X . In this case, the free topological group F ( u Y τ Y ) of the uniform space u Y τ Y is the topological subgroup of the group F ( u X τ X ) generated by Y iff Y is P τ -embedded in X. This result implies the Nummela-Pestov's Theorem: A dense subspace Y is P-embedded in a Tychonoff space X iff the free topological group F ( Y ) is topologically isomorphic to the subgroup of the group F ( X ) generated by Y. It is proved that the Weil completion of the free topological group coincides with its Raĭkov completion. It is also shown that the free topological groups in the sense of Nakayama and Nummela coincide.

中文翻译：

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Dieudonné τ-完全空间和均匀空间的自由拓扑群

摘要 对于 Tychonoff 空间 X，研究了 X 的 Dieudonne τ-完备性，用 μ τ X 表示。空间 μ τ X 被定义为 X 相对于一致性 u X τ 的完备性，其中 u X τ 是由 X 到权重≤τ 的度量空间的所有连续映射生成的。证明了 X 的一个稠密子空间 Y 是嵌入在 X 中的 P τ -（等价于 P τ ⁎ -），当仅当 u X τ | Y = u Y τ 仅当 Y ⊂ X ⊂ μ τ X 。在这种情况下，均匀空间 u Y τ Y 的自由拓扑群 F ( u Y τ Y ) 是由 Y 生成的群 F ( u X τ X ) 的拓扑子群，如果 Y 是 P τ 嵌入 X 中。这个结果暗示了 Nummela-Pestov 定理：一个稠密子空间 Y 被 P 嵌入在 Tychonoff 空间 X 中，如果自由拓扑群 F ( Y ) 在拓扑上同构于由 Y 生成的群 F ( X ) 的子群。证明了自由拓扑群的 Weil 完成与其 Raĭkov 完成重合。还表明中山和Nummela意义上的自由拓扑群重合。