Under sufficiently strong assumptions about the first prime in an arithmetic progression, we prove that the number of Carmichael numbers up to$X$is$\gg X^{1-R}$, where$R=(2+o(1))\log \log \log \log X/\text{log}\log \log X$. This is close to Pomerance’s conjectured density of$X^{1-R}$with$R=(1+o(1))\log \log \log X/\text{log}\log X$.

中文翻译：

---

卡迈克尔数的条件密度

在关于算术级数中的第一个素数的足够强的假设下，我们证明了卡迈克尔数的数量高达$X$是$\gg X^{1-R}$， 在哪里$R=(2+o(1))\log \log \log \log X/\text{log}\log \log X$. 这接近 Pomerance 的猜想密度$X^{1-R}$和$R=(1+o(1))\log \log \log X/\text{log}\log X$.