A graph is $F$‐saturated if it is $F$‐free but the addition of any edge creates a copy of $F$. In this paper we study the function $\text{sat}\left(n,H,F\right)$ which is the minimum number of copies of $H$ that an $F$‐saturated graph on $n$ vertices may contain. This function is a natural saturation analogue of Alon and Shikhelman's generalized Turán problem, and letting $H=K_2$ recovers the well‐studied saturation function. We provide a first investigation into this general function focusing on the cases where the host graph is either $K_s$ or $C_k$‐saturated. Some representative interesting behavior is:

• (a) For any natural number $m$, there are graphs $H$ and $F$ such that $\text{sat}\left(n,H,F\right)=\mathrm{\Theta }\left(n^m\right)$.
• (b) For many pairs $k$ and $l$, we show $\text{sat}\left(n,C_l,C_k\right)=0$. In particular, we prove that there exists a triangle‐free $C_k$‐saturated graph on $n$ vertices for any $k>4$ and large enough $n$.
• (c) $\text{sat}\left(n,K_3,K_4\right)=n-2$, $\text{sat}\left(n,C_4,K_4\right)\sim \frac{n^2}{2}$, and $\text{sat}\left(n,C_6,K_5\right)\sim n^3$.

We discuss several intriguing problems that remain unsolved.

中文翻译：

---

F饱和图中的H份很少

图是 $F$-如果是饱和的 $F$-免费，但添加任何边线都会创建一个副本 $F$。在本文中我们研究功能$\text{坐着}（ñ，H，F）$ 这是的最小副本数 $H$ 那一个 $F$上的饱和图 $ñ$顶点可能包含。此函数是Alon和Shikhelman的广义Turán问题的自然饱和度模拟，$H={ķ}_2$恢复经过充分研究的饱和度函数。我们针对此一般功能进行了首次调查，重点研究了主机图是${ķ}_s$ 要么 $C_{ķ}$饱和。一些代表性的有趣行为是：

• （a）对于任何自然数$米$，有图 $H$ 和 $F$ 这样 $\text{坐着}（ñ，H，F）=\mathrm{\Theta }（{ñ}^{米}）$。
• （b）多对$ķ$ 和 $升$，我们展示 $\text{坐着}（ñ，C_{升}，C_{ķ}）=0$。特别是，我们证明存在一个无三角形的$C_{ķ}$上的饱和图 $ñ$ 任何顶点 $ķ>4$ 而且足够大 $ñ$。
• （C） $\text{坐着}（ñ，{ķ}_3，{ķ}_4）=ñ-2$， $\text{坐着}（ñ，C_4，{ķ}_4）〜\frac{{ñ}^2}{2}$和 $\text{坐着}（ñ，C_6，{ķ}_5）〜{ñ}^3$。

我们讨论了几个尚未解决的有趣问题。