The Bhatia—Li mean $$\mathcal {B}_{p}\left( x,y\right) $$ B p x , y of positive numbers x and y is defined as $$\begin{aligned} \frac{1}{\mathcal {B}_{p}\left( x,y\right) }=\frac{p}{B\left( 1/p,1/p\right) } \int _{0}^{\infty }\frac{dt}{\left( t^{p}+x^{p}\right) ^{1/p}\left( t^{p}+y^{p}\right) ^{1/p}}\text {, }\ p\in \left( 0,\infty \right) , \end{aligned}$$ 1 B p x , y = p B 1 / p , 1 / p ∫ 0 ∞ dt t p + x p 1 / p t p + y p 1 / p , p ∈ 0 , ∞ , where $$B\left( \cdot ,\cdot \right) $$ B · , · is the Beta function. This new family of means includes the famous logarithmic mean, the Gaussian arithmetic-geometric mean etc. In 2012, Bhatia and Li conjectured that $$\mathcal {B}_{p}\left( x,y\right) $$ B p x , y is an increasing function of the parameter p on $$\left[ 0,\infty \right] $$ 0 , ∞ . In this paper, we give a positive answer to this conjecture. Moreover, the mean $$\mathcal {B} _{p}\left( x,y\right) $$ B p x , y is generalized to an multivariate mean and its elementary properties are investigated.

中文翻译：

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对 Bhatia-Li 参数新均值单调性猜想的肯定回答

Bhatia-Li 表示 $$\mathcal {B}_{p}\left( x,y\right) $$ B px , y 的正数 x 和 y 定义为 $$\begin{aligned} \frac{ 1}{\mathcal {B}_{p}\left( x,y\right) }=\frac{p}{B\left( 1/p,1/p\right) } \int _{0} ^{\infty }\frac{dt}{\left( t^{p}+x^{p}\right) ^{1/p}\left( t^{p}+y^{p}\right ) ^{1/p}}\text {, }\ p\in \left( 0,\infty \right) , \end{aligned}$$ 1 B px , y = p B 1 / p , 1 / p ∫ 0 ∞ dt tp + xp 1 / ptp + yp 1 / p , p ∈ 0 , ∞ ，其中 $$B\left( \cdot ,\cdot \right) $$ B · , · 是 Beta 函数。这个新的均值族包括著名的对数均值、高斯算术几何均值等。 2012 年，Bhatia 和 Li 推测 $$\mathcal {B}_{p}\left( x,y\right) $$ B px , y 是参数 p 在 $$\left[ 0,\infty \right] $$ 0 , ∞ 上的增函数。在本文中，我们对这一猜想给出了肯定的回答。