当前位置:
X-MOL 学术
›
arXiv.cs.SC
›
论文详情
Our official English website, www.x-mol.net, welcomes your
feedback! (Note: you will need to create a separate account there.)
Subquadratic-Time Algorithms for Normal Bases
arXiv - CS - Symbolic Computation Pub Date : 2020-05-05 , DOI: arxiv-2005.03497 Mark Giesbrecht, Armin Jamshidpey, \'Eric Schost
arXiv - CS - Symbolic Computation Pub Date : 2020-05-05 , DOI: arxiv-2005.03497 Mark Giesbrecht, Armin Jamshidpey, \'Eric Schost
For any finite Galois field extension $\mathsf{K}/\mathsf{F}$, with Galois
group $G = \mathrm{Gal}(\mathsf{K}/\mathsf{F})$, there exists an element
$\alpha \in \mathsf{K}$ whose orbit $G\cdot\alpha$ forms an $\mathsf{F}$-basis
of $\mathsf{K}$. Such an $\alpha$ is called a normal element and $G\cdot\alpha$
is a normal basis. We introduce a probabilistic algorithm for testing whether a
given $\alpha \in \mathsf{K}$ is normal, when $G$ is either a finite abelian or
a metacyclic group. The algorithm is based on the fact that deciding whether
$\alpha$ is normal can be reduced to deciding whether $\sum_{g \in G}
g(\alpha)g \in \mathsf{K}[G]$ is invertible; it requires a slightly
subquadratic number of operations. Once we know that $\alpha$ is normal, we
show how to perform conversions between the working basis of
$\mathsf{K}/\mathsf{F}$ and the normal basis with the same asymptotic cost.
中文翻译:
正规基的次二次时间算法
对于任何有限伽罗瓦域扩展 $\mathsf{K}/\mathsf{F}$,有伽罗瓦群 $G = \mathrm{Gal}(\mathsf{K}/\mathsf{F})$,存在一个元素$\alpha \in \mathsf{K}$ 的轨道 $G\cdot\alpha$ 形成了 $\mathsf{K}$ 的 $\mathsf{F}$ 基。这样的 $\alpha$ 称为正规元素,$G\cdot\alpha$ 是正规基。我们引入了一种概率算法来测试给定的 $\alpha \in \mathsf{K}$ 是否正常,当 $G$ 是有限阿贝尔群或元循环群时。该算法基于判断$\alpha$是否正常可以简化为判断$\sum_{g \in G} g(\alpha)g \in \mathsf{K}[G]$是否可逆; 它需要稍微次二次的操作数。一旦我们知道 $\alpha$ 是正常的,
更新日期:2020-05-08
中文翻译:
正规基的次二次时间算法
对于任何有限伽罗瓦域扩展 $\mathsf{K}/\mathsf{F}$,有伽罗瓦群 $G = \mathrm{Gal}(\mathsf{K}/\mathsf{F})$,存在一个元素$\alpha \in \mathsf{K}$ 的轨道 $G\cdot\alpha$ 形成了 $\mathsf{K}$ 的 $\mathsf{F}$ 基。这样的 $\alpha$ 称为正规元素,$G\cdot\alpha$ 是正规基。我们引入了一种概率算法来测试给定的 $\alpha \in \mathsf{K}$ 是否正常,当 $G$ 是有限阿贝尔群或元循环群时。该算法基于判断$\alpha$是否正常可以简化为判断$\sum_{g \in G} g(\alpha)g \in \mathsf{K}[G]$是否可逆; 它需要稍微次二次的操作数。一旦我们知道 $\alpha$ 是正常的,