We study delocalization of null vectors and eigenvectors of random matrices with i.i.d entries. Let A be an $$n\times n$$ n × n random matrix with i.i.d real subgaussian entries of zero mean and unit variance. We show that with probability at least $$1-e^{-\log ^{2} n}$$ 1 - e - log 2 n $$\begin{aligned} \min \limits _{I\subset [n],\,|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge \frac{m^{3/2}}{n^{3/2}\log ^Cn}\Vert \mathbf{{v}}\Vert \end{aligned}$$ min I ⊂ [ n ] , | I | = m ‖ v I ‖ ≥ m 3 / 2 n 3 / 2 log C n ‖ v ‖ for any real eigenvector $$\mathbf{{v}}$$ v and any $$m\in [\log ^C n,n]$$ m ∈ [ log C n , n ] , where $$\mathbf{{v}}_I$$ v I denotes the restriction of $$\mathbf{{v}}$$ v to I . Further, when the entries of A are complex, with i.i.d real and imaginary parts, we show that with probability at least $$1-e^{-\log ^{2} n}$$ 1 - e - log 2 n all eigenvectors of A are delocalized in the sense that $$\begin{aligned} \min \limits _{I\subset [n],\,|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge \frac{m}{n\log ^Cn}\Vert \mathbf{{v}}\Vert \end{aligned}$$ min I ⊂ [ n ] , | I | = m ‖ v I ‖ ≥ m n log C n ‖ v ‖ for all $$m\in [\log ^C{n},n]$$ m ∈ [ log C n , n ] . Comparing with related results, in the range $$m\in [\log ^{C'}{n},n/\log ^{C'}{n}]$$ m ∈ [ log C ′ n , n / log C ′ n ] in the i.i.d setting and with weaker probability estimates, our lower bounds on $$\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert $$ ‖ v I ‖ strengthen an earlier estimate $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^6\Vert \mathbf{{v}}\Vert $$ min | I | = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 6 ‖ v ‖ obtained in Rudelson and Vershynin (Geom Funct Anal 26(6):1716–1776, 2016), and bounds $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^2\Vert \mathbf{{v}}\Vert $$ min | I | = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 2 ‖ v ‖ (in the real setting) and $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^{3/2}\Vert \mathbf{{v}}\Vert $$ min | I | = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 3 / 2 ‖ v ‖ (in the complex setting) established in Luh and O’Rourke (Eigenvector delocalization for non-Hermitian random matrices and applications. arXiv:1810.00489 ). As the case of real and complex Gaussian matrices shows, our bounds are optimal up to the polylogarithmic multiples. We derive stronger estimates without the polylogarithmic error multiples for null vectors of real $$(n-1)\times n$$ ( n - 1 ) × n random matrices.

中文翻译：

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关于随机非厄米矩阵的特征向量的离域化

我们研究了具有 iid 条目的随机矩阵的空向量和特征向量的离域化。设 A 是一个 $$n\times n$$ n × n 随机矩阵，具有零均值和单位方差的 iid 实次高斯项。我们证明，概率至少为 $$1-e^{-\log ^{2} n}$$ 1 - e - log 2 n $$\begin{aligned} \min \limits _{I\subset [n] ,\,|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge \frac{m^{3/2}}{n^{3/2}\log ^Cn}\Vert \ mathbf{{v}}\Vert \end{aligned}$$ min I ⊂ [ n ] , | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ m 3 / 2 n 3 / 2 log C n ‖ v ‖ 对于任何实特征向量 $$\mathbf{{v}}$$ v 和任何 $$m\in [\log ^C n ,n]$$ m ∈ [ log C n , n ] ，其中 $$\mathbf{{v}}_I$$ v I 表示 $$\mathbf{{v}}$$ v 对 I 的限制。此外，当 A 的条目是复数时，具有 iid 实部和虚部，我们表明，在 $$\begin{aligned} \min 的意义上，A 的所有特征向量至少有 $$1-e^{-\log ^{2} n}$$ 1 - e - log 2 n 的概率都是离域的\limits _{I\subset [n],\,|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge \frac{m}{n\log ^Cn}\Vert \mathbf{ {v}}\Vert \end{aligned}$$ min I ⊂ [ n ] , | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ mn log C n ‖ v ‖ 对于所有 $$m\in [\log ^C{n},n]$$ m ∈ [ log C n , n ] 。与相关结果对比，在 $$m\in [\log ^{C'}{n},n/\log ^{C'}{n}]$$ m ∈ [ log C ′ n , n / log C ′ n ] 在 iid 设置和较弱的概率估计，我们对 $$\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert $$ ‖ v I ‖ 的下界加强了早期的估计 $$\min \nolimits _ {|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^6\Vert \mathbf{{v}}\Vert $$ min | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 6 ‖ v ‖ 在 Rudelson 和 Vershynin (Geom Funct Anal 26(6): 1716–1776, 2016) 和边界 $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^2\Vert \mathbf{ {v}}\Vert $$ min | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 2 ‖ v ‖（在实际设置中）和 $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^{3/2}\Vert \mathbf{{v}}\Vert $$ min | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 3 / 2 ‖ v ‖（在复杂设置中）在 Luh 和 O'Rourke 中建立（非厄米随机矩阵和应用的特征向量离域。arXiv:1810.00489）。正如实数和复数高斯矩阵的情况所示，我们的边界在多对数倍数之前是最优的。对于实数 $$(n-1)\times n$$ ( n - 1 ) × n 随机矩阵的空向量，我们在没有多对数误差倍数的情况下推导出更强的估计。和边界 $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^2\Vert \mathbf{{v}}\Vert $ $ 分钟 | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 2 ‖ v ‖（在实际设置中）和 $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^{3/2}\Vert \mathbf{{v}}\Vert $$ min | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 3 / 2 ‖ v ‖（在复杂设置中）在 Luh 和 O'Rourke 中建立（非厄米随机矩阵和应用的特征向量离域。arXiv:1810.00489）。正如实数和复数高斯矩阵的情况所示，我们的边界在多对数倍数之前是最优的。对于实数 $$(n-1)\times n$$ ( n - 1 ) × n 随机矩阵的空向量，我们在没有多对数误差倍数的情况下推导出更强的估计。和边界 $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^2\Vert \mathbf{{v}}\Vert $ $ 分钟 | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 2 ‖ v ‖（在实际设置中）和 $$\min \nolimits _{|I|= m}\Vert \mathbf{{v}}_I\Vert \ge c(m/n)^{3/2}\Vert \mathbf{{v}}\Vert $$ min | 我| = m ‖ v I ‖ ≥ c ( m / n ) 3 / 2 ‖ v ‖（在复杂设置中）在 Luh 和 O'Rourke 中建立（非厄米随机矩阵和应用的特征向量离域。arXiv:1810.00489）。正如实数和复数高斯矩阵的情况所示，我们的边界在多对数倍数之前是最优的。对于实数 $$(n-1)\times n$$ ( n - 1 ) × n 随机矩阵的空向量，我们在没有多对数误差倍数的情况下推导出更强的估计。