For any compact Riemannian surface $S$ and any point $y$ in $S$, $Q_y^{-1}$ denotes the set of all points in $S$, for which $y$ is a critical point. We proved \cite{BIVZ} together with Imre Barany that card$Q_y^{-1} \geq 1$, and that equality for all $y\in S$ characterizes the surfaces homeomorphic to the sphere. Here we show, for any orientable surface $S$ and any point $y \in S$, the following two main results. There exist an open and dense set of Riemannian metrics $g$ on $S$ for which $y$ is critical with respect to an odd number of points in $S$, and this is sharp. Card$Q_y^{-1} \leq 5$ for the torus and card$Q_y^{-1} \leq 8g-5$ if the genus $g$ of $S$ is at least $2$. Properties involving points at globally maximal distance on $S$ are eventually presented.

中文翻译：

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对于任何紧黎曼曲面$S$ 和$S$ 中的任何点$y$，$Q_y^{-1}$ 表示$S$ 中所有点的集合，其中$y$ 是临界点。我们和 Imre Barany 一起证明了 \cite{BIVZ} 卡$Q_y^{-1} \geq 1$，并且所有 $y\in S$ 的等式表征了与球体同胚的表面。这里我们展示，对于任何可定向表面 $S$ 和任何点 $y \in S$，以下两个主要结果。在 $S$ 上存在一组开放且密集的黎曼度量 $g$，其中 $y$ 对 $S$ 中的奇数点是至关重要的，并且这是尖锐的。Card$Q_y^{-1} \leq 5$ 用于环面和 card$Q_y^{-1} \leq 8g-5$ 如果 $S$ 的属 $g$ 至少为 $2$。最终呈现涉及 $S$ 上全局最大距离点的属性。