In this work we study the existence of positive solution to the fractional quasilinear problem, $\left\{\begin{array}{cccc}\hfill {(-\Delta )}^{s}u& \hfill =\hfill & \lambda \frac{u}{{\left|x\right|}^{2s}}+{|\nabla u|}^p+\mu f\hfill & \text{ in }\Omega ,\hfill \\ \hfill u& \hfill >\hfill & 0\hfill & \text{ in }\Omega ,\hfill \\ \hfill u& \hfill =\hfill & 0\hfill & \text{ in }({\mathbb{R}}^N\setminus \Omega ),\hfill \end{array}\right.$where $\Omega$ is a $C^{1,1}$ bounded domain in ${\mathbb{R}}^N$, $N>2s,\mu >0$, $\frac{1}{2}<s<1$, and $0<\lambda <{\Lambda }_{N,s}$ is defined in (3). We assume that $f$ is a non-negative function with additional hypotheses. As we will see, there are deep differences with respect to the case $\lambda =0$. More precisely,

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If $\lambda >0$, there exists a critical exponent $p_{+}(\lambda ,s)$ such that for $p>p_{+}(\lambda ,s)$ there is no positive solution.

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Moreover, $p_{+}(\lambda ,s)$ is optimal in the sense that, if $p<p_{+}(\lambda ,s)$ there exists a positive solution for suitable data and $\mu$ sufficiently small.

在这项工作中，我们研究了分数拟线性问题的正解的存在， $\left\{\begin{array}{cccc}\hfill {（-\Delta ）}^sü& \hfill =\hfill & \lambda \frac{ü}{{\left|X\right|}^{2s}}+{|\nabla ü|}^p+\mu F\hfill & \text{ 在 }\Omega ，\hfill \\ \hfill ü& \hfill >\hfill & 0\hfill & \text{ 在 }\Omega ，\hfill \\ \hfill ü& \hfill =\hfill & 0\hfill & \text{ 在 }（{\mathbb{[R}}^{ñ}\setminus \Omega ），\hfill \end{array}\right.$哪里 $\Omega$ 是一个 $C^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}$ 有界域 ${\mathbb{[R}}^{ñ}$， $ñ>2s，\mu >0$， $\frac{\mathrm{1个}}{2}<s<\mathrm{1个}$和 $0<\lambda <{\Lambda }_{ñ，s}$在（3）中定义。我们假设$F$是带有其他假设的非负函数。正如我们将看到的，此案有很大的不同$\lambda =0$。更确切地说，

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如果 $\lambda >0$，存在一个关键指数 $p_{+}（\lambda ，s）$ 这样 $p>p_{+}（\lambda ，s）$ 没有积极的解决方案。

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此外， $p_{+}（\lambda ，s）$ 在某种意义上说是最佳的 $p<p_{+}（\lambda ，s）$ 对于合适的数据存在一个积极的解决方案， $\mu$ 足够小。