For $s=3,4$, we prove the existence of arbitrarily long sequences of consecutive integers none of which is a sum of $s$ nonnegative $s$th powers. More generally, we study the existence of gaps between the values $⩽N$ of diagonal forms of degree $s$ in $s$ variables with positive integer coefficients. We find: (1) gaps of size $\gg \frac{\sqrt{\log N}}{{(\log \log N)}^2}$ when $s=3$; (2) gaps of size $\gg \frac{\log \log \log N}{\log \log \log \log N}$ if $s=4$ and the form, up to permutation of the variables, is not equal to $a{(c_1{x}_1)}^4+b{(c_2{x}_2)}^4+4a{(c_3{x}_3)}^4+4b{(c_4{x}_4)}^4$.

中文翻译：

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正定三次对角线形式和双二次对角线形式的值之间的任意长的间隙

对于 $s=3，4$，我们证明了存在连续整数的任意长序列，这些序列都不是的和。 $s$ 非负的 $s$权力。更笼统地说，我们研究了价值观之间存在差距$⩽ñ$ 对角形式的度 $s$ 在 $s$具有正整数系数的变量。我们发现：（1）尺寸差距$\gg \frac{\sqrt{\mathrm{日志}ñ}}{{（\mathrm{日志}\mathrm{日志}ñ）}^2}$ 什么时候 $s=3$; （2）大小差距$\gg \frac{\mathrm{日志}\mathrm{日志}\mathrm{日志}ñ}{\mathrm{日志}\mathrm{日志}\mathrm{日志}\mathrm{日志}ñ}$ 如果 $s=4$ 并且形式，直到变量的排列，不等于 $\mathrm{一种}{（C_{\mathrm{1个}}{X}_{\mathrm{1个}}）}^4+b{（C_2{X}_2）}^4+4\mathrm{一种}{（C_3{X}_3）}^4+4b{（C_4{X}_4）}^4$。