Network epidemics is a ubiquitous model that can represent different phenomena and finds applications in various domains. Among its various characteristics, a fundamental question concerns the time when an epidemic stops propagating. We investigate this characteristic on a SIS epidemic induced by agents that move according to independent continuous time random walks on a finite graph: agents can either be infected (I) or susceptible (S), and infection occurs when two agents with different epidemic states meet in a node. After a random recovery time, an infected agent returns to state S and can be infected again. The end of epidemic (EoE) denotes the first time where all agents are in state S, since after this moment no further infections can occur and the epidemic stops. For the case of two agents on edge-transitive graphs, we characterize EoE as a function of the network structure by relating the Laplace transform of EoE to the Laplace transform of the meeting time of two random walks. Interestingly, this analysis shows a separation between the effect of network structure and epidemic dynamics. We then study the asymptotic behavior of EoE (asymptotically in the size of the graph) under different parameter scalings, identifying regimes where EoE converges in distribution to a proper random variable or to infinity. We also highlight the impact of different graph structures on EoE, characterizing it under complete graphs, complete bipartite graphs, and rings.

中文翻译：

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边传递图上的随机游走驱动的SIS流行病的结束时间

网络流行病是一种无处不在的模型，可以表示不同的现象并在各个领域找到应用。在其各种特征中，一个基本问题涉及流行病停止传播的时间。我们研究了由根据有限图上的独立连续时间随机游走移动的代理引起的 SIS 流行的这一特征：代理可以被感染 (I) 或易感 (S)，当两个具有不同流行状态的代理相遇时会发生感染在一个节点。在随机恢复时间后，受感染的代理返回状态 S 并可以再次被感染。流行结束 (EoE) 表示所有代理第一次处于状态 S，因为在这一刻之后不会发生进一步的感染并且流行停止。对于边传递图上有两个代理的情况，我们通过将 EoE 的拉普拉斯变换与两个随机游走相遇时间的拉普拉斯变换联系起来，将 EoE 表征为网络结构的函数。有趣的是，该分析显示了网络结构和流行动态的影响之间的分离。然后我们研究 EoE 在不同参数缩放下的渐近行为（在图的大小上渐近），确定 EoE 在分布中收敛到适当随机变量或无穷大的情况。我们还强调了不同图结构对 EoE 的影响，在完全图、完全二部图和环下对其进行表征。该分析显示了网络结构和流行动态的影响之间的分离。然后我们研究 EoE 在不同参数缩放下的渐近行为（在图的大小上渐近），确定 EoE 在分布中收敛到适当随机变量或无穷大的情况。我们还强调了不同图结构对 EoE 的影响，在完全图、完全二部图和环下对其进行表征。该分析显示了网络结构和流行动态的影响之间的分离。然后我们研究 EoE 在不同参数缩放下的渐近行为（在图的大小上渐近），确定 EoE 在分布中收敛到适当随机变量或无穷大的情况。我们还强调了不同图结构对 EoE 的影响，在完全图、完全二部图和环下对其进行表征。