Modified gravity (MOG) theories are alternatives to general relativity (GR) that arose primarily from the need to explain the observed galactic flat rotation curves without invoking the elusive dark matter hypothesized by GR. A well known MOG is the Scalar–Tensor–Vector–Gravity developed by Moffat, who has also found a spinning solution called the Kerr-MOG black hole (BH) characterized by the spin a and MOG parameter $$\alpha $$ α , the latter determining the strength of the gravitational vector forces. We consider the static-MOG metric ( $$a=0$$ a = 0 ) to first understand how the nature of geometry drastically changes depending on different sectors of $$\alpha $$ α . Then we study the influence of $$\alpha $$ α in each sector on a new astrophysical diagnostic caused by frame dragging , viz., the difference $$\varDelta t$$ Δ t in the times of arrival at the observer of signals emanating from a variable pulsar (PSR) passing behind a Kerr-MOG lens in a PSR-BH binary system. The study generalizes the zeroth order Laguna–Wolszczan formula up to third PPN order in $$\left( 1/r\right) $$ 1 / r using thin-lens approximation, which reveals how $$\varDelta t$$ Δ t is influenced both by a and $$\alpha $$ α . The magnitude and sign of $$\alpha $$ α indicate deviations from GR ( $$\alpha =0$$ α = 0 ) and future measurements may constrain $$\alpha $$ α provided a suitable binary is identified.

中文翻译：

---

Kerr-MOG 黑洞中信号的到达时间 (TOA)

修正引力 (MOG) 理论是广义相对论 (GR) 的替代方案，它主要是由于需要解释观察到的银河平坦旋转曲线，而无需援引 GR 假设的难以捉摸的暗物质。一个著名的 MOG 是由 Moffat 开发的标量-张量-矢量-重力，他还发现了一种称为 Kerr-MOG 黑洞 (BH) 的自旋解，其特征在于自旋 a 和 MOG 参数 $$\alpha $$ α ，后者决定了重力矢量的强度。我们考虑静态 MOG 度量 ( $$a=0$$ a = 0 ) 以首先了解几何的性质如何根据 $$\alpha $$ α 的不同扇区发生剧烈变化。然后我们研究了每个扇区中 $$\alpha $$ α 对帧拖拽引起的新天体物理诊断的影响，即，在 PSR-BH 双星系统中，可变脉冲星 (PSR) 发出的信号经过 Kerr-MOG 透镜后到达观察者处的时间差值 $$\varDelta t$$ Δ t。该研究使用薄透镜近似将零阶 Laguna-Wolszczan 公式推广到第三 PPN 阶 $$\left(1/r\right)$$1/r，揭示了 $$\varDelta t$$ Δ t受 a 和 $$\alpha $$ α 的影响。$$\alpha $$ α 的大小和符号表示与 GR 的偏差（ $$\alpha =0$$ α = 0 ），如果确定了合适的二进制，未来的测量可能会限制 $$\alpha $$ α。该研究使用薄透镜近似将零阶 Laguna-Wolszczan 公式推广到第三 PPN 阶 $$\left(1/r\right)$$1/r，揭示了 $$\varDelta t$$ Δ t受 a 和 $$\alpha $$ α 的影响。$$\alpha $$ α 的大小和符号表示与 GR 的偏差（ $$\alpha =0$$ α = 0 ），如果确定了合适的二进制，未来的测量可能会限制 $$\alpha $$ α。该研究使用薄透镜近似将零阶 Laguna-Wolszczan 公式推广到第三 PPN 阶 $$\left(1/r\right)$$1/r，揭示了 $$\varDelta t$$ Δ t受 a 和 $$\alpha $$ α 的影响。$$\alpha $$ α 的大小和符号表示与 GR 的偏差（ $$\alpha =0$$ α = 0 ），如果确定了合适的二进制，未来的测量可能会限制 $$\alpha $$ α。