In the present research, optimal control problem for low thrust spacecraft orbital transfer is investigated by combination of analytical method and Artificial Bee Colony (ABC) algorithm, which is a population-based method. Spacecraft trajectory optimization is defined for orbital transfer from Low Earth Orbit (LEO) to Geosynchronous Earth Orbit (GEO). In the proposed analytical method co-state variables are simplified by employing concepts of optimal control and specific conditions which are considered for the problem, consequently, an adjoint differential equation is added to set of differential equations and these equations are solved simultaneously that result in optimum transfer trajectory. Dynamic modeling of the problem is represented based on Edelbaum equations and trajectory design is carried out considering circular orbits. Optimization problem is defined for different kinds of objective functions such as minimum time, minimum control effort, minimum time with minimum control effort as well as both minimum time and minimum control effort considering different optimal weighted coefficients. These coefficients are searched by means of artificial bee colony algorithm in weighted minimum time minimum effort scheme. Initial values of control variable and terminal time for all defined objective functions are foraged through artificial bee colony algorithm. The rate of changes of the states and control variables are obtained and depicted during orbit transfer. The obtained results demonstrate considerable convergence as well as sufficient accuracy.

中文翻译：

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考虑圆形轨道的低轨道从低轨道向地球静止轨道的最佳推力轨道研究

在本研究中，通过分析方法和人工蜂群算法（ABC）相结合，研究了低推力航天器轨道转移的最优控制问题。为从低地球轨道（LEO）到地球同步地球轨道（GEO）的轨道转移定义了航天器轨迹优化。在所提出的分析方法中，通过采用最优控制的概念和考虑到该问题的特定条件来简化共态变量，因此，将伴随的微分方程添加到微分方程组中，同时求解这些方程以得到最优的转移轨迹。基于Edelbaum方程表示问题的动态建模，并考虑圆形轨道进行轨迹设计。针对不同类型的目标函数定义了优化问题，例如最小时间，最小控制工作量，具有最小控制工作量的最小时间，以及考虑不同最佳加权系数的最小时间和最小控制工作量。这些系数是通过人工蜂群算法在加权最小时间最小努力方案中搜索的。通过人工蜂群算法对所有定义的目标函数的控制变量和终止时间的初始值进行求值。状态和控制变量的变化率是在轨道转移期间获得并描绘的。获得的结果证明了相当大的收敛性以及足够的准确性。考虑到不同的最佳加权系数，以最小的控制工作量实现最短的时间，以及最小的时间和最小控制工作量。这些系数是通过人工蜂群算法在加权最小时间最小努力方案中搜索的。通过人工蜂群算法对所有定义的目标函数的控制变量和终止时间的初始值进行求值。状态和控制变量的变化率是在轨道转移期间获得并描绘的。获得的结果证明了相当大的收敛性以及足够的准确性。考虑到不同的最佳加权系数，以最小的控制工作量实现最短的时间，以及最小的时间和最小控制工作量。这些系数是通过人工蜂群算法在加权最小时间最小努力方案中搜索的。通过人工蜂群算法对所有定义的目标函数的控制变量和终止时间的初始值进行搜寻。状态和控制变量的变化率是在轨道转移期间获得并描绘的。获得的结果证明了相当大的收敛性以及足够的准确性。这些系数是通过人工蜂群算法在加权最小时间最小努力方案中搜索的。通过人工蜂群算法对所有定义的目标函数的控制变量和终止时间的初始值进行求值。状态和控制变量的变化率是在轨道转移期间获得并描绘的。获得的结果证明了相当大的收敛性以及足够的准确性。这些系数是通过人工蜂群算法在加权最小时间最小努力方案中搜索的。通过人工蜂群算法对所有定义的目标函数的控制变量和终止时间的初始值进行求值。状态和控制变量的变化率是在轨道转移期间获得并描绘的。获得的结果证明了相当大的收敛性以及足够的准确性。