Let ${\mathbb{S}}^1$ be the unit circle, $\Omega$ a smooth, bounded and simply connected domain in ${\mathbb{R}}^2$, and $k$ a positive integer. We prove that the set of configurations $a=\left(a_1,\dots ,a_k\right)\in {\Omega }^k$ for which each $u\in W^{1,1}\left(\Omega ,{\mathbb{S}}^1\right)\cap C(\Omega \setminus \left\{a_1,\dots ,a_k\right\})$ admits a unique ($mod2\pi$) minimal $BV$-lifting $\phi \in BV(\Omega ,\mathbb{R})$ is of full measure in ${\Omega }^k$.

In particular, this implies that the set of those $u\in W^{1,1}\left(\Omega ,{\mathbb{S}}^1\right)$ that admit a unique ($mod2\pi$) minimal $BV$-lifting is dense in $W^{1,1}$ $\left(\Omega ,{\mathbb{S}}^1\right)$. This answers a question of Brezis and Mironescu.

中文翻译：

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最小的 $BV$举重 ${\mathrm{w\; ^}}^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}\left(\Omega ，{\mathbb{小号}}^{\mathrm{1个}}\right)$ 2D地图“通常”是唯一的

让 ${\mathbb{小号}}^{\mathrm{1个}}$ 是单位圆， $\Omega$ 一个光滑，有界且简单连接的域 ${\mathbb{[R}}^2$和 $ķ$一个正整数。我们证明了这套配置$\mathrm{一种}=\left({\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ķ}\right)\in {\Omega }^{ķ}$ 对于每个 $ü\in {\mathrm{w\; ^}}^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}\left(\Omega ，{\mathbb{小号}}^{\mathrm{1个}}\right)\cap C（\Omega \setminus \left\{{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ķ}\right\}）$ 承认一个独特的（$米Ød2\pi$最小 $BV$举重 $\phi \in BV（\Omega ，\mathbb{[R}）$ 在 ${\Omega }^{ķ}$。

特别是，这意味着 $ü\in {\mathrm{w\; ^}}^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}\left(\Omega ，{\mathbb{小号}}^{\mathrm{1个}}\right)$ 承认一个独特的（$米Ød2\pi$最小 $BV$举重密集 ${\mathrm{w\; ^}}^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}$ $\left(\Omega ，{\mathbb{小号}}^{\mathrm{1个}}\right)$。这回答了布雷齐斯和米罗内斯库的问题。