We examine the weighted Grushin system involving advection terms given by $$ \textstyle\begin{cases} \Delta _{G} u - a \cdot \nabla _{G} u =(1+ \Vert \mathbf{z} \Vert ^{2(\alpha +1)})^{ \frac{\gamma }{2(\alpha +1)}} v^{-p} &\text{in $\mathbb {R}^{n}$}, \\ \Delta _{G} v - a \cdot \nabla _{G} v =(1+ \Vert \mathbf{z} \Vert ^{2(\alpha +1)})^{ \frac{\gamma }{2(\alpha +1)}} u^{-q} &\text{in $\mathbb {R}^{n}$}, \end{cases} $$ where $\Delta _{G} u= \Delta _{x} u+ |x|^{2\alpha } \Delta _{y} u$, $\mathbf{z}=(x,y) \in \mathbb {R}^{n}:= \mathbb {R}^{n_{1}} \times \mathbb {R}^{n_{2}}$ is the Grushin operator, $\alpha \geq 0$, $p \geq q >1$, $\|\mathbf{z}\|^{2(\alpha +1)}= |x|^{2(\alpha +1)} + |y|^{2} $, $\gamma \geq 0$ and a is a smooth divergence-free vector that we will specify later. Inspired by recent progress in the study of the Lane–Emden system, we establish some Liouville-type results for bounded stable positive solutions of the system. In particular, we prove the comparison principle to establish our result. As consequences, we obtain a Liouville-type theorem for the weighted Grushin equation involving advection terms $$ \Delta _{G} u - a \cdot \nabla _{G} u =\bigl(1+ \Vert \mathbf{z} \Vert ^{2(\alpha +1)}\bigr)^{ \frac{\gamma }{2(\alpha +1)}} u^{-p} \quad \mbox{in } \mathbb {R}^{n}. $$ The main tools in the proof of the main result are the comparison principle, nonlinear integral estimates via the stability assumption and the bootstrap argument. Our results generalize and improve the previous work in (Duong et al. in Complex Var. Elliptic Equ. 64(12):2117–2129, 2019).

中文翻译：

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关于带有负指数和权重的对流项的子椭圆系统的整体稳定解

受到Lane-Emden系统研究的最新进展的启发，我们建立了系统的有限稳定正解的一些Liouville型结果。特别是，我们证明了比较原理以建立我们的结果。结果，我们获得了包含对流项$$的加权Grushin方程的Liouville型定理$$ \ Delta _ {G} u-\ cdot \ nabla _ {G} u = \ bigl（1+ \ Vert \ mathbf {z } \ Vert ^ {2（\ alpha +1）} \ bigr）^ {\ frac {\ gamma} {2（\ alpha +1）}} u ^ {-p} \ quad \ mbox {in} \ mathbb { R} ^ {n}。$$证明主要结果的主要工具是比较原理，通过稳定性假设的非线性积分估计和自举参数。我们的研究结果推广并改进了先前的工作（Duong等人在Complex Var。Elliptic Equ。64（12）：2117-2129，2019）。我们建立了系统的有限稳定正解的一些Liouville型结果。特别是，我们证明了比较原理以建立我们的结果。结果，我们获得了包含对流项$$的加权Grushin方程的Liouville型定理$$ \ Delta _ {G} u-\ cdot \ nabla _ {G} u = \ bigl（1+ \ Vert \ mathbf {z } \ Vert ^ {2（\ alpha +1）} \ bigr）^ {\ frac {\ gamma} {2（\ alpha +1）}} u ^ {-p} \ quad \ mbox {in} \ mathbb { R} ^ {n}。$$证明主要结果的主要工具是比较原理，通过稳定性假设的非线性积分估计和自举参数。我们的研究结果推广并改进了先前的工作（Duong等人在Complex Var。Elliptic Equ。64（12）：2117-2129，2019）。我们建立了系统的有限稳定正解的一些Liouville型结果。特别是，我们证明了比较原理以建立我们的结果。结果，我们获得了包含对流项$$的加权Grushin方程的Liouville型定理$$ \ Delta _ {G} u-\ cdot \ nabla _ {G} u = \ bigl（1+ \ Vert \ mathbf {z } \ Vert ^ {2（\ alpha +1）} \ bigr）^ {\ frac {\ gamma} {2（\ alpha +1）}} u ^ {-p} \ quad \ mbox {in} \ mathbb { R} ^ {n}。$$证明主要结果的主要工具是比较原理，通过稳定性假设的非线性积分估计和自举参数。我们的研究结果推广并改进了先前的工作（Duong等人在Complex Var。Elliptic Equ。64（12）：2117-2129，2019）。结果，我们得到了包含对流项$$的加权Grushin方程的Liouville型定理$$ \ Delta _ {G} u-\ cdot \ nabla _ {G} u = \ bigl（1+ \ Vert \ mathbf {z } \ Vert ^ {2（\ alpha +1）} \ bigr）^ {\ frac {\ gamma} {2（\ alpha +1）}} u ^ {-p} \ quad \ mbox {in} \ mathbb { R} ^ {n}。$$证明主要结果的主要工具是比较原理，通过稳定性假设的非线性积分估计和自举参数。我们的研究结果推广并改进了先前的工作（Duong等人在Complex Var。Elliptic Equ。64（12）：2117-2129，2019）。结果，我们获得了包含对流项$$的加权Grushin方程的Liouville型定理$$ \ Delta _ {G} u-\ cdot \ nabla _ {G} u = \ bigl（1+ \ Vert \ mathbf {z } \ Vert ^ {2（\ alpha +1）} \ bigr）^ {\ frac {\ gamma} {2（\ alpha +1）}} u ^ {-p} \ quad \ mbox {in} \ mathbb { R} ^ {n}。$$证明主要结果的主要工具是比较原理，通过稳定性假设的非线性积分估计和自举参数。我们的结果推广并改进了先前的工作（Duong等人在Complex Var。Elliptic Equ。64（12）：2117-2129，2019）。$$证明主要结果的主要工具是比较原理，通过稳定性假设的非线性积分估计和自举参数。我们的研究结果推广并改进了先前的工作（Duong等人在Complex Var。Elliptic Equ。64（12）：2117-2129，2019）。$$证明主要结果的主要工具是比较原理，通过稳定性假设的非线性积分估计和自举参数。我们的研究结果推广并改进了先前的工作（Duong等人在Complex Var。Elliptic Equ。64（12）：2117-2129，2019）。