A partial Steiner triple system of order $u$ is a pair $(U,\mathcal{A})$ where $U$ is a set of $u$ elements and $\mathcal{A}$ is a set of triples of elements of $U$ such that any two elements of $U$ occur together in at most one triple. If each pair of elements occur together in exactly one triple it is a Steiner triple system. An embedding of a partial Steiner triple system $(U,\mathcal{A})$ is a (complete) Steiner triple system $(V,\mathcal{B})$ such that $U \subseteq V$ and $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$. For a given partial Steiner triple system of order $u$ it is known that an embedding of order $v \geq 2u+1$ exists whenever $v$ satisfies the obvious necessary conditions. Determining whether "small" embeddings of order $v < 2u+1$ exist is a more difficult task. Here we extend a result of Colbourn on the $\mathsf{NP}$-completeness of these problems. We also exhibit a family of counterexamples to a conjecture concerning when small embeddings exist.

中文翻译：

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关于确定何时存在部分 Steiner 三元系统的小嵌入

阶 $u$ 的部分 Steiner 三元组系统是一对 $(U,\mathcal{A})$，其中 $U$ 是一组 $u$ 元素，$\mathcal{A}$ 是一组三元组$U$ 的元素使得 $U$ 的任何两个元素最多一起出现在一个三元组中。如果每对元素恰好一起出现在一个三元组中，则它是 Steiner 三元组系统。部分 Steiner 三元系统 $(U,\mathcal{A})$ 的嵌入是一个（完整的）Steiner 三元系统 $(V,\mathcal{B})$ 使得 $U \subseteq V$ 和 $\mathcal {A} \subseteq \mathcal{B}$。对于给定的 $u$ 阶部分 Steiner 三元系统，只要 $v$ 满足明显的必要条件，就会存在阶 $v \geq 2u+1$ 的嵌入。确定 $v < 2u+1$ 阶的“小”嵌入是否存在是一项更困难的任务。在这里，我们扩展了 Colbourn 在这些问题的 $\mathsf{NP}$-完备性上的结果。我们还展示了一系列关于何时存在小嵌入的猜想的反例。