The theory of mixed multiplicities of filtrations by $m$‐primary ideals in a ring is introduced in [Cutkosky, P. Sarkar and H. Srinivasan, Trans. Amer. Math. Soc. 372 (2019) 6183–6211]. In this paper, we consider the positivity of mixed multiplicities of filtrations. We show that the mixed multiplicities of filtrations must be nonnegative real numbers and give examples to show that they could be zero or even irrational. When $R$ is analytically irreducible, and $\mathcal{I}(1),\dots ,\mathcal{I}(r)$ are filtrations of $R$ by $m_R$‐primary ideals, we show that all of the mixed multiplicities $e_R(\mathcal{I}{(1)}^{[d_1]},\dots ,\mathcal{I}{(r)}^{[d_r]};R)$ are positive if and only if the ordinary multiplicities $e_R(\mathcal{I}(i);R)$ for $1⩽i⩽r$ are positive. We extend this to modules and prove a simple characterization of when the mixed multiplicities are positive or zero on a finitely generated module.

中文翻译：

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混合多重过滤的正性

混合过滤的多重理论。 $米$[Cutkosky，P。Sarkar和H. Srinivasan，Trans。阿米尔。数学。Soc。372（2019）6183–6211]。在本文中，我们考虑混合多重过滤的正性。我们证明过滤的混合多重性必须是非负实数，并举例说明它们可能为零甚至不合理。什么时候$\mathrm{[R}$ 在分析上是不可还原的，并且 $\mathcal{一世}（\mathrm{1个}），\dots ，\mathcal{一世}（\mathrm{[R}）$ 是过滤 $\mathrm{[R}$ 通过 ${米}_{\mathrm{[R}}$首要理想，我们证明了所有混合的多重性 ${Ë}_{\mathrm{[R}}（\mathcal{一世}{（\mathrm{1个}）}^{[d_{\mathrm{1个}}]}，\dots ，\mathcal{一世}{（\mathrm{[R}）}^{[d_{\mathrm{[R}}]};\mathrm{[R}）$ 当且仅当普通多重性为正时 ${Ë}_{\mathrm{[R}}（\mathcal{一世}（\mathrm{一世}）;\mathrm{[R}）$ 对于 $\mathrm{1个}⩽\mathrm{一世}⩽\mathrm{[R}$是积极的。我们将此扩展到模块，并证明了在有限生成的模块上混合乘数是正数还是零的简单特征。