Let $G=SL(2,\mathbb{R})⋉{({\mathbb{R}}^2)}^{\oplus k}$ and let $\mathrm{\Gamma }$ be a congruence subgroup of $SL(2,\mathbb{Z})⋉{({\mathbb{Z}}^2)}^{\oplus k}$. We prove a polynomially effective asymptotic equidistribution result for special types of unipotent orbits in $\mathrm{\Gamma }\setminus G$ which project to pieces of closed horocycles in $SL(2,\mathbb{Z})\setminus SL(2,\mathbb{R})$. As an application, we prove an effective quantitative Oppenheim‐type result for the quadratic form ${(m_1-\alpha )}^2+{(m_2-\beta )}^2-{(m_3-\alpha )}^2-{(m_4-\beta )}^2$, for $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$ of Diophantine type, following the approach by Marklof [Ann. of Math. 158 (2003) 419–471] using theta sums.

中文翻译：

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SL（2，R）⋉（R2）⊕k的有效均值分配结果并应用于不均匀二次型

让 $G=SL（2，\mathbb{[R}）⋉{（{\mathbb{[R}}^2）}^{\oplus ķ}$ 然后让 $\mathrm{\Gamma }$ 是...的全等子组 $SL（2，\mathbb{ž}）⋉{（{\mathbb{ž}}^2）}^{\oplus ķ}$。我们证明了特殊类型的单能轨道在多项式有效的渐近均衡分布结果$\mathrm{\Gamma }\setminus G$ 该项目适用于封闭的摩托车零件 $SL（2，\mathbb{ž}）\setminus SL（2，\mathbb{[R}）$。作为应用，我们证明了二次形式的有效定量Oppenheim型结果${（{米}_{\mathrm{1个}}-\alpha ）}^2+{（{米}_2-\beta ）}^2-{（{米}_3-\alpha ）}^2-{（{米}_4-\beta ）}^2$，对于 $（\alpha ，\beta ）\in {\mathbb{[R}}^2$遵循Marklof的方法[Diophantine类型] 。数学学士学位。158（2003）419–471]使用theta和。