We analyse the evolution of a system designed for reservation of some items in advance (for example, seats in aircrafts or trains or bus) by customers arriving at random moments. The reservation has to be done by the server in one of the K time frames. At the beginning of the pth time frame, the inventoried items in it (as well as those sold from it earlier) have life time distribution which is a p-fold convolution of a phase-type distribution with itself, for $$1 \le p \le K.$$ Cancellation of reserved items is possible before the expiry of their life. Distributions characterizing the service and inter-cancellation times are assumed to be independent exponential random variables and the customer arrivals are according to a Markovian arrival process. The number of items for reservation, available at the beginning of each time frame, is finite. If, at the commencement of service of a customer, the item in the required time frame is not available, the reservation may still be possible, through overbooking. Overbooking up to a maximum fixed level is permitted for each time frame. If, for the required day, the overbooked item is available, the customer is served the same. If this too is not available, he is asked to give alternatives. If none of his alternatives can be met, he is provided with a reservation for the time frame (day) for which one is available. If that too is not available, then he will have to wait until the expiry of one time frame; in the last case all remaining customers will have to wait. On expiry of one phase distribution, the time frames are renumbered and a new time frame with a K-fold convolution of the phase-type distribution is added $$(0 \leftarrow 1 \leftarrow 2 \leftarrow \cdots \leftarrow K-1 \leftarrow K \leftarrow K+1).$$ All overbooked customers present in the recently expired time frame are provided with a reservation in the newly added time frame (which has, at that epoch, a life time of a K-fold convolution of the phase-type distribution). This system is analysed and illustrated through numerical experiments. The special case of Poisson arrival, coupled with blocking of arrivals when all time frames $$1, 2, \ldots , K$$ are overbooked, is shown to yield a product form solution. For this case, an appropriate cost function is constructed and its properties investigated numerically.

中文翻译：

---

在未来 K 个时间范围内具有提前预订和取消的排队库存系统：超额预订的情况

我们分析了一个系统的演变，该系统旨在由随机到达的客户提前预订某些物品（例如，飞机、火车或公共汽车的座位）。预订必须由服务器在 K 个时间范围之一内完成。在第 p 个时间范围的开始，其中的库存物品（以及之前从它出售的物品）具有生命周期分布，它是相位型分布与其自身的 p 折卷积，价格为 $1 \le p \le K.$$ 可以在其使用寿命到期之前取消保留的项目。表征服务和相互取消时间的分布被假定为独立的指数随机变量，并且顾客到达是根据马尔可夫到达过程的。每个时间段开始时可用的预订项目数量是有限的。如果，在客户开始服务时，所需时间范围内的物品不可用，但仍有可能通过超额预订进行预订。每个时间段都允许超额预订至最大固定水平。如果在所需的日期，超额预订的商品可用，则为客户提供相同的服务。如果这也没有，他会被要求提供替代方案。如果无法满足他的任何替代方案，则为他提供一个可用时间范围（天）的预订。如果那也不可用，那么他将不得不等到一个时间框架到期；在最后一种情况下，所有剩余的客户将不得不等待。一期分配期满时，时间范围被重新编号，并添加了一个具有相位类型分布的 K 折卷积的新时间范围 $$(0 \leftarrow 1 \leftarrow 2 \leftarrow \cdots \leftarrow K-1 \leftarrow K \leftarrow K+ 1).$$ 在最近到期的时间范围内出现的所有超额预订客户都在新添加的时间范围内提供预订（在那个时期，阶段类型分布的 K 折卷积的生命周期） . 通过数值实验对该系统进行了分析和说明。泊松到达的特殊情况，加上当所有时间范围 $$1, 2, \ldots , K$$ 都被超额预订时阻塞到达，被证明会产生一个产品形式的解决方案。对于这种情况，构建了一个适当的成本函数并对其属性进行了数值研究。$$ 在最近到期的时间范围内出现的所有超额预订客户都在新添加的时间范围内提供预订（在那个时期，阶段类型分布的 K 折卷积的生命周期）。通过数值实验对该系统进行了分析和说明。泊松到达的特殊情况，加上当所有时间范围 $$1, 2, \ldots , K$$ 都被超额预订时阻塞到达，被证明会产生一个产品形式的解决方案。对于这种情况，构建了一个适当的成本函数并对其属性进行了数值研究。$$ 在最近到期的时间范围内出现的所有超额预订客户都在新添加的时间范围内提供预订（在那个时期，阶段类型分布的 K 折卷积的生命周期）。通过数值实验对该系统进行了分析和说明。泊松到达的特殊情况，加上当所有时间范围 $$1, 2, \ldots , K$$ 都被超额预订时阻塞到达，被证明会产生一个产品形式的解决方案。对于这种情况，构建了一个合适的成本函数并对其属性进行了数值研究。泊松到达的特殊情况，加上当所有时间范围 $$1, 2, \ldots , K$$ 都被超额预订时阻塞到达，被证明会产生一个产品形式的解决方案。对于这种情况，构建了一个适当的成本函数并对其属性进行了数值研究。泊松到达的特殊情况，加上当所有时间范围 $$1, 2, \ldots , K$$ 都被超额预订时阻塞到达，被证明会产生产品形式的解决方案。对于这种情况，构建了一个合适的成本函数并对其属性进行了数值研究。