It is proved that, for a prime $p>2$ and integer $n\geq 1$, finite $p$-groups of nilpotency class $3$ and having only two conjugacy class sizes $1$ and $p^n$ exist if and only if $n$ is even; moreover, for a given even positive integer, such a group is unique up to isoclinism (in the sense of Philip Hall).

中文翻译：

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具有两个共轭类大小的幂零类 3 的有限 p 群

证明，对于素数 $p>2$ 和整数 $n\geq 1$，有限的 $p$-组的幂零类 $3$ 和只有两个共轭类大小 $1$ 和 $p^n$ 存在如果并且仅当 $n$ 为偶数时；此外，对于给定的偶数正整数，这样的群在等倾角之前是独一无二的（在菲利普霍尔的意义上）。