We establish a cutting lemma for definable families of sets in distal structures, as well as the optimality of the distal cell decomposition for definable families of sets on the plane in o-minimal expansions of fields. Using it, we generalize the results in Fox et al. (J Eur Math Soc 19(6):1785–1810, 2017 ) on the semialgebraic planar Zarankiewicz problem to arbitrary o-minimal structures, in particular obtaining an o-minimal generalization of the Szemerédi–Trotter theorem.

中文翻译：

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远端结构的切割引理和Zarankiewicz问题

我们为远侧结构中的可定义集合集建立一个切割引理，以及在平面的O最小扩展中为平面上的可定义集合集进行远端细胞分解的最优性。使用它，我们将结果推广到Fox​​等。（J Eur Math Soc 19（6）：1785–1810，2017）关于半代数平面Zanrankiewicz问题到任意o-最小结构的问题，特别是获得了Szemerédi-Trotter定理的o-最小化的泛化。