We provide a sharp double-sided estimate for Poincaré–Sobolev constants on a convex set, in terms of its inradius and \(N-\)dimensional measure. Our results extend and unify previous works by Hersch and Protter (for the first eigenvalue) and of Makai, Pólya and Szegő (for the torsional rigidity), by means of a single proof.

中文翻译：

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关于凸集中的主频率，体积和半径

对于凸集上的Poincaré-Sobolev常数，我们以其半径和\（N- \）量度提供了一个清晰的双面估计。我们的研究结果通过单一证明扩展并统一了Hersch和Protter（用于第一个特征值）以及Makai，Pólya和Szegő（用于抗扭刚度）的先前工作。