E. Oja, T. Viil, and D. Werner showed, in Totally smooth renormings , Archiv der Mathematik, 112 , 3, (2019), 269–281, that a weakly compactly generated Banach space $$(X,\Vert \cdot \Vert )$$ ( X , ‖ · ‖ ) with the property that every linear functional on X has a unique Hahn–Banach extension to the bidual $$X^{**}$$ X ∗ ∗ (the so-called Phelps’ property U in $$X^{**}$$ X ∗ ∗ , also known as the Hahn–Banach smoothness property) can be renormed to have the stronger property that for every subspace Y of X , every linear functional on Y has a unique Hahn–Banach extension to $$X^{**}$$ X ∗ ∗ (the so-called total smoothness property of the space). We mention here that this result holds in full generality —without any restriction on the space— and in a stronger form, thanks to a result of M. Raja, On dual locally uniformly rotund norms , Israel Journal of Mathematics 129 (2002), 77–91.

中文翻译：

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关于完全平滑重整的评论

E. Oja、T. Viil 和 D. Werner 在 Totally smooth renormings , Archiv der Mathematik, 112 , 3, (2019), 269–281 中表明，弱紧凑生成的 Banach 空间 $$(X,\Vert \ cdot \Vert )$$ ( X , ‖ · ‖ ) 的性质是 X 上的每个线性泛函都有唯一的 Hahn-Banach 扩展到双元 $$X^{**}$$ X ∗ ∗（所谓的$$X^{**}$$ X ∗ ∗ 中的菲尔普斯性质 U，也称为 Hahn-Banach 平滑性质）可以重新归一化为具有更强的性质，即对于 X 的每个子空间 Y，Y 上的每个线性泛函对 $$X^{**}$$ X ∗ ∗（所谓的空间总平滑性）具有独特的 Hahn-Banach 扩展。我们在这里提到，由于 M. Raja 的结果，这个结果具有完全的一般性——对空间没有任何限制——并且具有更强的形式，关于对偶局部均匀圆形规范，