Journal of Dynamics and Differential Equations ( IF 1.4 ) Pub Date : 2020-03-16 , DOI: 10.1007/s10884-020-09839-2 Marek Fila , Johannes Lankeit
We improve the Gagliardo–Nirenberg inequality
$$\begin{aligned} \Vert \varphi \Vert _{L^q({\mathbb {R}}^n)} \le C \Vert \nabla \varphi \Vert _{L^r({\mathbb {R}}^n)} {\mathcal {L}}^{-(\frac{1}{q} - \frac{n-2}{2n})} (\Vert \nabla \varphi \Vert _{L^r({\mathbb {R}}^n)}), \end{aligned}$$\(r=2\), \(0<q<\frac{2n}{(n-2)_+}\), \({\mathcal {L}}\) generalizing \({\mathcal {L}}(s)=\ln ^{-1}\frac{2}{s}\) for \(0<s<1\), from Fila and Winkler (Adv Math 357, 2019. https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106823) for rapidly decaying functions (\(\varphi \in W^{1,2}({\mathbb {R}}^n){\setminus }\{0\}\) with finite \(K=\int _{{\mathbb {R}}^n} \mathcal {L}(|\varphi |)\)) by specifying the dependence of C on K and by allowing arbitrary \(r\ge 1\).
中文翻译：
快速衰变函数的Gagliardo-Nirenberg型不等式
我们改善了加利亚多-尼伦贝格不等式
$$ \ begin {aligned} \ Vert \ varphi \ Vert _ {L ^ q（{\ mathbb {R}} ^ n）} \ le C \ Vert \ nabla \ varphi \ Vert _ {L ^ r（{\ mathbb {R}} ^ n）} {\数学{L}} ^ {-（\ frac {1} {q}-\ frac {n-2} {2n}）}}（\ Vert \ nabla \ varphi \ Vert _ {L ^ r（{\ mathbb {R}} ^ n）}），\ end {aligned} $$\（r = 2 \），\（0 <q <\ frac {2n} {（n-2）_ +} \），\（{\ mathcal {L}} \）推广\（{\ mathcal {L }}（s）= \ ln ^ {-1} \ frac {2} {s} \）为\（0 <s <1 \），来自Fila和Winkler（Adv Math 357，2019. https：// doi .org / 10.1016 / j.aim.2019.106823）用于快速衰减的函数（\（\ varphi \ in W ^ {1,2}（{\ mathbb {R}} ^ n）{\ setminus} \ {0 \} \ ），通过指定C对K的依赖关系并允许任意\（r ）来使用有限\（K = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ n} \ mathcal {L}（| \ varphi |）\））\ ge 1 \）。
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