We show that a complete hereditary cotorsion pair $(\mathcal{C},\mathcal{C}^\bot)$ in an exact category $\mathcal{E}$, together with a subcategory $\mathcal{Z}\subseteq\mathcal{E}$ containing $\mathcal{C}^\bot$, determines a Waldhausen category structure on the exact category $\mathcal{C}$, in which $\mathcal{Z}$ is the class of acyclic objects. This allows us to prove a new version of Quillen's Localization Theorem, relating the $K$-theory of exact categories $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ to that of a cofiber, constructed through a cotorsion pair. Notably, we do not require $\mathcal{A}$ to be a Serre subcategory, which produces new examples. Due to the algebraic nature of our Waldhausen categories, we are able to recover a version of Quillen's Resolution Theorem, now in a more homotopical setting that allows for weak equivalences.

中文翻译：

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Cotorsion 对和 K 理论定位定理

我们证明了一个完全遗传的 cotorsion 对 $(\mathcal{C},\mathcal{C}^\bot)$ 在一个精确的类别 $\mathcal{E}$ 中，以及一个子类别 $\mathcal{Z}\subseteq \mathcal{E}$ 包含 $\mathcal{C}^\bot$，确定准确类别 $\mathcal{C}$ 上的 Waldhausen 类别结构，其中 $\mathcal{Z}$ 是非循环对象的类. 这使我们能够证明 Quillen 定位定理的新版本，将精确类别 $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ 的 $K$ 理论与通过 cotorsion 对构造的cofiber 的理论联系起来。值得注意的是，我们不要求 $\mathcal{A}$ 是一个 Serre 子类别，它会产生新的例子。由于我们的 Waldhausen 类别的代数性质，我们能够恢复 Quillen 分辨率定理的一个版本，现在处于更同伦的设置中，允许弱等价。