A spanning 2-forest separating vertices $u$ and $v$ of an undirected connected graph is a spanning forest with 2 components such that $u$ and $v$ are in distinct components. Aside from their combinatorial significance, spanning 2-forests have an important application to the calculation of resistance distance or effective resistance. The resistance distance between vertices $u$ and $v$ in a graph representing an electrical circuit with unit resistance on each edge is the number of spanning 2-forests separating $u$ and $v$ divided by the number of spanning trees in the graph. There are also well-known matrix theoretic methods for calculating resistance distance, but the way in which the structure of the underlying graph determines resistance distance via these methods is not well understood. For any connected graph $G$ with a 2-separator separating vertices $u$ and $v$, we show that the number of spanning trees and spanning 2-forests separating $u$ and $v$ can be expressed in terms of these same quantities for the smaller separated graphs, which makes computation significantly more tractable. An important special case is the preservation of the number of spanning 2-forests if $u$ and $v$ are in the same smaller graph. In this paper we demonstrate that this method of calculating resistance distance is more suitable for certain structured families of graphs than the more standard methods. We apply our results to count the number of spanning 2-forests and calculate the resistance distance in a family of Sierpinski triangles and in the family of linear 2-trees with a single bend.

中文翻译：

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2-连通图中的跨越2-森林和阻力距离

无向连通图的一个生成 2-森林分离顶点 $u$ 和 $v$ 是一个具有 2 个组件的生成森林，使得 $u$ 和 $v$ 处于不同的组件中。除了它们的组合意义之外，跨越 2-森林在计算阻力距离或有效阻力方面有重要的应用。在表示每条边上具有单位电阻的电路的图中，顶点 $u$ 和 $v$ 之间的电阻距离是将 $u$ 和 $v$ 分开的跨越 2-森林的数量除以该区域中生成树的数量。图形。也有众所周知的矩阵理论方法来计算阻力距离，但底层图的结构通过这些方法确定阻力距离的方式尚不清楚。对于任何具有 2-separator 分隔顶点 $u$ 和 $v$ 的连通图 $G$，我们证明了生成树和生成 2-forests 分隔 $u$ 和 $v$ 的数量可以用这些表示较小的分离图具有相同的数量，这使得计算更容易处理。一个重要的特殊情况是如果 $u$ 和 $v$ 在同一个较小的图中，则保留跨越 2-森林的数量。在本文中，我们证明了这种计算阻力距离的方法比更标准的方法更适合某些结构化的图族。我们应用我们的结果来计算跨越 2-森林的数量，并计算 Sierpinski 三角形族和具有单个弯曲的线性 2-树族中的阻力距离。我们表明，对于较小的分离图，生成树和生成 2-forests 的数量可以用这些相同的数量来表示，这使得计算更容易处理。一个重要的特殊情况是如果 $u$ 和 $v$ 在同一个较小的图中，则保留跨越 2-森林的数量。在本文中，我们证明了这种计算阻力距离的方法比更标准的方法更适合某些结构化的图族。我们应用我们的结果来计算跨越 2-森林的数量，并计算 Sierpinski 三角形族和具有单个弯曲的线性 2-树族中的阻力距离。我们表明，对于较小的分离图，生成树和生成 2-forests 的数量可以用这些相同的数量来表示，这使得计算更容易处理。一个重要的特殊情况是如果 $u$ 和 $v$ 在同一个较小的图中，则保留跨越 2-森林的数量。在本文中，我们证明了这种计算阻力距离的方法比更标准的方法更适合某些结构化的图族。我们应用我们的结果来计算跨越 2-森林的数量，并计算 Sierpinski 三角形族和具有单个弯曲的线性 2-树族中的阻力距离。这使得计算更容易处理。一个重要的特殊情况是如果 $u$ 和 $v$ 在同一个较小的图中，则保留跨越 2-森林的数量。在本文中，我们证明了这种计算阻力距离的方法比更标准的方法更适合某些结构化的图族。我们应用我们的结果来计算跨越 2-森林的数量，并计算 Sierpinski 三角形族和具有单个弯曲的线性 2-树族中的阻力距离。这使得计算更容易处理。一个重要的特殊情况是如果 $u$ 和 $v$ 在同一个较小的图中，则保留跨越 2-森林的数量。在本文中，我们证明了这种计算阻力距离的方法比更标准的方法更适合某些结构化的图族。我们应用我们的结果来计算跨越 2 森林的数量，并计算谢尔宾斯基三角形族和具有单个弯曲的线性 2 树族的阻力距离。在本文中，我们证明了这种计算阻力距离的方法比更标准的方法更适合某些结构化的图族。我们应用我们的结果来计算跨越 2 森林的数量，并计算谢尔宾斯基三角形族和具有单个弯曲的线性 2 树族的阻力距离。在本文中，我们证明了这种计算阻力距离的方法比更标准的方法更适合某些结构化的图族。我们应用我们的结果来计算跨越 2-森林的数量，并计算 Sierpinski 三角形族和具有单个弯曲的线性 2-树族中的阻力距离。