Abstract A cograph is a graph without an induced 3-edge path. A graph is ( k , l ) if its vertex set can be partitioned into at most k independent sets and l cliques. ( k , l ) -cographs already have a forbidden induced subgraphs characterization, but no structural characterization is known, except for ( 1 , 1 ) -cographs, i.e. threshold graphs. In this paper, we present a structural characterization and a decomposition theorem for ( 2 , 1 ) -cographs and, consequently, for ( 1 , 2 ) -cographs, leading to linear time recognition algorithms for both classes. Since recognizing a graph is a very important tool to solve several other problems, besides providing these characterizations, we applied them while dealing with two closely related problems: graph sandwich problems and probe problems. graph sandwich problems for property Π ( Π - sp ) were introduced by Golumbic et al. as a natural generalization of recognition problems. Probe problems were defined by Zhang and can be analyzed in two versions, partitioned, which is a particular case of a sandwich problem, and non-partitioned. Our main result on probe problems shows that the probe (2,1)-cograph problem , in both versions, is polynomial-time solvable. Moreover, we also prove that, although the cograph-sp and the threshold-sp are polynomial-time solvable problems, the (2,1)-cograph-sp and the join of two thresholds-sp are NP -complete problems. As a corollary, we have that the (1,2)-cograph-sp is NP -complete as well. Using these results, we can fully classify P vs NP -complete dichotomy for the ( k , l ) -cograph-sp , for fixed integers k , l .

中文翻译：

---

(k,ℓ)-cographs 上的表征、探测和三明治问题

摘要 Cograph 是没有诱导 3 边路径的图。一个图是 ( k , l ) 如果它的顶点集最多可以被划分成 k 个独立的集和 l 个团。( k , l ) -cographs 已经有一个禁止的诱导子图表征，但没有结构表征，除了 ( 1 , 1 ) -cographs，即阈值图。在本文中，我们提出了 ( 2 , 1 ) -cographs 的结构特征和分解定理，因此，对于 ( 1 , 2 ) -cographs，导致了两个类的线性时间识别算法。由于识别图是解决其他几个问题的非常重要的工具，除了提供这些特征之外，我们在处理两个密切相关的问题时应用它们：图三明治问题和探测问题。性质 Π ( Π - sp ) 的图三明治问题由 Golumbic 等人提出。作为识别问题的自然概括。探测问题由 Zhang 定义，可以分为两个版本进行分析，分区（三明治问题的一个特例）和非分区。我们在探测问题上的主要结果表明，探测 (2,1)-cograph 问题在两个版本中都是多项式时间可解的。此外，我们还证明，虽然cograph-sp和阈值-sp是多项式时间可解问题，但(2,1)-cograph-sp和两个阈值-sp的连接是NP-完全问题。作为推论，我们有 (1,2)-cograph-sp 也是 NP -完全的。使用这些结果，对于固定整数 k , l ，我们可以对 ( k , l ) -cograph-sp 完全分类 P 与 NP 完全二分法。作为识别问题的自然概括。探测问题由 Zhang 定义，可以分为两个版本进行分析，分区（三明治问题的一个特例）和非分区。我们对探测问题的主要结果表明，探测 (2,1)-cograph 问题在两个版本中都是多项式时间可解的。此外，我们还证明，虽然cograph-sp和阈值-sp是多项式时间可解问题，但(2,1)-cograph-sp和两个阈值-sp的连接是NP-完全问题。作为推论，我们有 (1,2)-cograph-sp 也是 NP -完全的。使用这些结果，对于固定整数 k , l ，我们可以对 ( k , l ) -cograph-sp 完全分类 P 与 NP 完全二分法。作为识别问题的自然概括。探测问题是由 Zhang 定义的，可以分为两个版本进行分析，分区（三明治问题的一个特例）和非分区。我们对探测问题的主要结果表明，探测 (2,1)-cograph 问题在两个版本中都是多项式时间可解的。此外，我们还证明，虽然cograph-sp和阈值-sp是多项式时间可解问题，但(2,1)-cograph-sp和两个阈值-sp的连接是NP-完全问题。作为推论，我们有 (1,2)-cograph-sp 也是 NP -完全的。使用这些结果，对于固定整数 k , l ，我们可以对 ( k , l ) -cograph-sp 完全分类 P 与 NP 完全二分法。分区，这是三明治问题的一个特例，非分区。我们对探测问题的主要结果表明，探测 (2,1)-cograph 问题在两个版本中都是多项式时间可解的。此外，我们还证明，虽然cograph-sp和阈值-sp是多项式时间可解问题，但(2,1)-cograph-sp和两个阈值-sp的连接是NP-完全问题。作为推论，我们有 (1,2)-cograph-sp 也是 NP -完全的。使用这些结果，对于固定整数 k , l ，我们可以对 ( k , l ) -cograph-sp 完全分类 P 与 NP 完全二分法。分区，这是三明治问题的一个特例，非分区。我们在探测问题上的主要结果表明，探测 (2,1)-cograph 问题在两个版本中都是多项式时间可解的。此外，我们还证明，虽然cograph-sp和阈值-sp是多项式时间可解问题，但(2,1)-cograph-sp和两个阈值-sp的连接是NP-完全问题。作为推论，我们有 (1,2)-cograph-sp 也是 NP -完全的。使用这些结果，对于固定整数 k , l ，我们可以对 ( k , l ) -cograph-sp 完全分类 P 与 NP 完全二分法。尽管 cograph-sp 和阈值 sp 是多项式时间可解问题，但 (2,1)-cograph-sp 和两个阈值 sp 的连接是 NP 完全问题。作为推论，我们有 (1,2)-cograph-sp 也是 NP -完全的。使用这些结果，对于固定整数 k , l ，我们可以对 ( k , l ) -cograph-sp 完全分类 P 与 NP 完全二分法。尽管 cograph-sp 和阈值 sp 是多项式时间可解问题，但 (2,1)-cograph-sp 和两个阈值 sp 的连接是 NP 完全问题。作为推论，我们有 (1,2)-cograph-sp 也是 NP -完全的。使用这些结果，对于固定整数 k , l ，我们可以对 ( k , l ) -cograph-sp 完全分类 P 与 NP 完全二分法。