Recently, Kawarabayashi and Thorup presented the first deterministic edge-connectivity recognition algorithm in near-linear time. A crucial step in their algorithm uses the existence of vertex subsets of a simple graph $G$ on $n$ vertices whose contractions leave a multigraph with $\tilde{O}(n/\delta)$ vertices and $\tilde{O}(n)$ edges that preserves all non-trivial min-cuts of $G$, where $\delta$ is the minimum degree of $G$ and $\tilde{O}$ hides logarithmic factors. We present a simple argument that improves this contraction-based sparsifier by eliminating the poly-logarithmic factors, that is, we show a contraction-based sparsification that leaves $O(n/\delta)$ vertices and $O(n)$ edges, preserves all non-trivial min-cuts and can be computed in near-linear time $\tilde{O}(m)$, where $m$ is the number of edges of $G$. We also obtain that every simple graph has $O((n/\delta)^2)$ non-trivial min-cuts. Our approach allows to represent all non-trivial min-cuts of a graph by a cactus representation, whose cactus graph has $O(n/\delta)$ vertices. Moreover, this cactus representation can be derived directly from the standard cactus representation of all min-cuts in linear time. We apply this compact structure to show that all min-cuts can be explicitly listed in $\tilde{O}(m) + O(n^2 / \delta)$ time for every simple graph, which improves the previous best time bound $O(nm)$ given by Gusfield and Naor.

中文翻译：

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所有非平凡最小切割的紧凑仙人掌表示

最近，Kawarabayashi 和 Thorup 提出了第一个在近线性时间内确定的边缘连通性识别算法。他们算法中的一个关键步骤是在 $n$ 个顶点上存在一个简单图 $G$ 的顶点子集，这些顶点的收缩留下一个带有 $\tilde{O}(n/\delta)$ 顶点和 $\tilde{O 的多重图}(n)$ 边保留了 $G$ 的所有非平凡最小切割，其中 $\delta$ 是 $G$ 的最小程度，$\tilde{O}$ 隐藏对数因子。我们提出了一个简单的论证，通过消除多对数因子来改进这种基于收缩的稀疏化器，也就是说，我们展示了一种基于收缩的稀疏化，它留下了 $O(n/\delta)$ 顶点和 $O(n)$ 边，保留所有非平凡的最小切割，并且可以在近线性时间 $\tilde{O}(m)$ 中计算，其中 $m$ 是 $G$ 的边数。我们还获得每个简单图都有 $O((n/\delta)^2)$ 非平凡最小割。我们的方法允许通过仙人掌表示来表示图的所有非平凡最小切割，其仙人掌图具有 $O(n/\delta)$ 顶点。此外，这种仙人掌表示可以直接从线性时间内所有最小切割的标准仙人掌表示中导出。我们应用这种紧凑的结构来表明，对于每个简单图，所有最小割都可以在 $\tilde{O}(m) + O(n^2 / \delta)$ 时间中明确列出，这改善了之前的最佳时间界限$O(nm)$ 由 Gusfield 和 Naor 给出。这种仙人掌表示可以直接从线性时间内所有最小切割的标准仙人掌表示中导出。我们应用这种紧凑的结构来表明，对于每个简单图，所有最小割都可以在 $\tilde{O}(m) + O(n^2 / \delta)$ 时间中明确列出，这改善了之前的最佳时间界限$O(nm)$ 由 Gusfield 和 Naor 给出。这种仙人掌表示可以直接从线性时间内所有最小切割的标准仙人掌表示中导出。我们应用这种紧凑的结构来表明，对于每个简单图，所有最小割都可以在 $\tilde{O}(m) + O(n^2 / \delta)$ 时间中明确列出，这改善了之前的最佳时间界限$O(nm)$ 由 Gusfield 和 Naor 给出。