Suppose $X$ is an $N \times n$ complex matrix whose entries are centered, independent, and identically distributed random variables with variance $1/n$ and whose fourth moment is of order ${\mathcal O}(n^{-2})$. In the first part of the paper, we consider the non-Hermitian matrix $X A X^* - z$, where $A$ is a deterministic matrix whose smallest and largest singular values are bounded below and above respectively, and $z\neq 0$ is a complex number. Asymptotic probability bounds for the smallest singular value of this model are obtained in the large dimensional regime where $N$ and $n$ diverge to infinity at the same rate. In the second part of the paper, we consider the special case where $A = J = [1_{i-j = 1\mod n} ]$ is a circulant matrix. Using the result of the first part, it is shown that the limit eigenvalue distribution of $X J X^*$ exists in the large dimensional regime, and we determine this limit explicitly. A statistical application of this result devoted towards testing the presence of correlations within a multivariate time series is considered. Assuming that $X$ represents a ${\mathbb C}^N$-valued time series which is observed over a time window of length $n$, the matrix $X J X^*$ represents the one-step sample autocovariance matrix of this time series. Guided by the result on the limit spectral measure of this matrix, a whiteness test against an MA correlation model on the time series is introduced. Numerical simulations show the excellent performance of this test.

中文翻译：

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一类非厄米随机矩阵的最小奇异值和极限特征值分布的统计应用

假设 $X$ 是一个 $N \times n$ 复矩阵，其条目是中心、独立且同分布的随机变量，方差为 $1/n$，其四阶矩为 ${\mathcal O}(n^{- 2})$。在论文的第一部分中，我们考虑了非厄米矩阵 $XAX^* - z$，其中 $A$ 是一个确定性矩阵，其最小和最大奇异值分别上界和下界，而 $z\neq 0 $ 是一个复数。该模型的最小奇异值的渐近概率边界是在 $N$ 和 $n$ 以相同速率发散到无穷大的大维区域中获得的。在论文的第二部分，我们考虑 $A = J = [1_{ij = 1\mod n} ]$ 是循环矩阵的特殊情况。使用第一部分的结果，结果表明，$XJX^*$ 的极限特征值分布存在于大维范围内，我们明确地确定了这个极限。该结果的统计应用专门用于测试多元时间序列中相关性的存在。假设 $X$ 代表一个 ${\mathbb C}^N$ 值的时间序列，它是在长度为 $n$ 的时间窗口上观察到的，矩阵 $XJX^*$ 代表这个的一步样本自协方差矩阵时间序列。在此矩阵的极限谱测量结果的指导下，引入了针对时间序列的 MA 相关模型的白度测试。数值模拟显示了该测试的优异性能。该结果的统计应用专门用于测试多元时间序列中相关性的存在。假设 $X$ 代表一个 ${\mathbb C}^N$ 值的时间序列，它是在长度为 $n$ 的时间窗口上观察到的，矩阵 $XJX^*$ 代表这个的一步样本自协方差矩阵时间序列。在此矩阵的极限谱测量结果的指导下，引入了针对时间序列的 MA 相关模型的白度测试。数值模拟显示了该测试的优异性能。该结果的统计应用专门用于测试多元时间序列中相关性的存在。假设 $X$ 代表一个 ${\mathbb C}^N$ 值的时间序列，它是在长度为 $n$ 的时间窗口上观察到的，矩阵 $XJX^*$ 代表这个的一步样本自协方差矩阵时间序列。在此矩阵的极限谱测量结果的指导下，引入了针对时间序列的 MA 相关模型的白度测试。数值模拟显示了该测试的优异性能。在此矩阵的极限谱测量结果的指导下，引入了针对时间序列的 MA 相关模型的白度测试。数值模拟显示了该测试的优异性能。在此矩阵的极限谱测量结果的指导下，引入了针对时间序列的 MA 相关模型的白度测试。数值模拟显示了该测试的优异性能。