We study the Sobolev regularity on the sphere ${\mathbb{S}}^d$ of the uncentered fractional Hardy–Littlewood maximal operator ${\tilde{\mathcal{M}}}_{\beta }$ at the endpoint $p=1$, when acting on polar data. We first prove that if $q=\frac{d}{d-\beta }$, $0<\beta <d$ and $f$ is a polar $W^{1,1}\left({\mathbb{S}}^d\right)$ function, we have ${\Vert \nabla {\tilde{\mathcal{M}}}_{\beta }f\Vert }_q{\lesssim }_{d,\beta }{\Vert \nabla f\Vert }_1.$ We then prove that the map $f\mapsto |\nabla {\tilde{\mathcal{M}}}_{\beta }f|$ is continuous from $W^{1,1}\left({\mathbb{S}}^d\right)$ to $L^q\left({\mathbb{S}}^d\right)$ when restricted to polar data. Our methods allow us to give a new proof of the continuity of the map $f\mapsto |\nabla {\tilde{M}}_{\beta }f|$ from $W_{\text{rad}}^{1,1}\left({\mathbb{R}}^d\right)$ to $L^q\left({\mathbb{R}}^d\right)$. Moreover, we prove that a conjectural local boundedness for the centered fractional Hardy–Littlewood maximal operator $M_{\beta }$ implies the continuity of the map $f\mapsto |\nabla M_{\beta }f|$ from $W^{1,1}$ to $L^q$, in the context of polar functions on ${\mathbb{S}}^d$ and radial functions on ${\mathbb{R}}^d$.

我们研究球面上的Sobolev正则性 ${\mathbb{小号}}^d$ 无心分数Hardy–Littlewood最大算子 ${\stackrel{〜}{\mathcal{中号}}}_{\beta }$ 在端点 $p=\mathrm{1个}$，当作用于极性数据时。我们首先证明$q=\frac{d}{d-\beta }$， $0<\beta <d$ 和 $F$ 是极地 ${\mathrm{w\; ^}}^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}（{\mathbb{小号}}^d）$ 功能，我们有 ${\Vert \nabla {\stackrel{〜}{\mathcal{中号}}}_{\beta }F\Vert }_q{\lesssim }_{d，\beta }{\Vert \nabla F\Vert }_{\mathrm{1个}}。$ 然后，我们证明地图 $F\mapsto |\nabla {\stackrel{〜}{\mathcal{中号}}}_{\beta }F|$ 从连续 ${\mathrm{w\; ^}}^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}（{\mathbb{小号}}^d）$ 至 ${\mathrm{大号}}^q（{\mathbb{小号}}^d）$仅限于极性数据时。我们的方法使我们能够为地图的连续性提供新的证明$F\mapsto |\nabla {\stackrel{〜}{\mathrm{中号}}}_{\beta }F|$ 从 ${\mathrm{w\; ^}}_{\text{拉德}}^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d）$ 至 ${\mathrm{大号}}^q（{\mathbb{[R}}^d）$。此外，我们证明了中心分数分数Hardy–Littlewood最大算子的一个猜想局部有界性${\mathrm{中号}}_{\beta }$ 暗示地图的连续性 $F\mapsto |\nabla {\mathrm{中号}}_{\beta }F|$ 从 ${\mathrm{w\; ^}}^{\mathrm{1个}，\mathrm{1个}}$ 至 ${\mathrm{大号}}^q$，在极函数上 ${\mathbb{小号}}^d$ 和径向功能 ${\mathbb{[R}}^d$。